Verifica e dimensione di un sottospazio vettoriale di polinomi, esercizio

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Verifica e dimensione di un sottospazio vettoriale di polinomi, esercizio #3411

avt
xavier310
Sfera
In un esercizio di Algebra Lineare mi viene chiesto di determinare i valori di un parametro reale affinché un certo insieme sia un sottospazio vettoriale dello spazio dei polinomi di grado al più 2.

Sia U_c un sottoinsieme dello spazio dei polinomi di grado al più due, definito da

U_{c}=\{p \in \mathbb{R}_2[x] \left | p(2)=c \}

Per quali valori di c\in\mathbb{R} l’insieme U_c è un sottospazio vettoriale di  \mathbb{R}_2[x]?

E in tal caso che dimensione ha il corrispondente sottospazio vettoriale di polinomi?

Grazie!
 
 

Verifica e dimensione di un sottospazio vettoriale di polinomi, esercizio #3423

avt
frank094
Sfera
Il problema ci chiede di determinare il valore del parametro reale k affinché l'insieme

U_{c}=\{p\in\mathbb{R}_{2}[x] \ \mbox{t.c.} \ p(2)=c\}

sia un sottospazio vettoriale dello spazio dei polinomi di grado al più 2.

In generale affinché un sottoinsieme U di uno spazio vettoriale V sia un sottospazio vettoriale di V, bisogna verificare che:

(1) il vettore nullo di V appartenga a U

\mathbf{0}_{V}\in U

Se così non fosse, U non sarebbe un sottospazio vettoriale.

(2) U sia chiuso rispetto alla somma e rispetto al prodotto per uno scalare. In altre parole:

- se \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\in U, la loro somma appartiene a U

\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_{2}\in U

- se \mathbf{u}\in U, per ogni \lambda\in\mathbb{K} si ha che il prodotto \lambda \mathbf{u} è ancora un elemento di U.


Risoluzione del problema

L'insieme U_{c} è costituito dai polinomi di grado al più 2 la cui valutazione in due 2 deve essere uguale a c.

Indichiamo con p(x) un generico polinomio di grado al più 2

p(x)=a_0+a_1 x + a_2 x^2 \ \ \ \mbox{con} \ a_0,a_1,a_2\in\mathbb{R}

e valutiamolo in x=2

p(2)=a_0+2a_1+4a_2

Questo polinomio appartiene a U_{c} se e solo se p(2)=c (condizione di appartenenza), ossia se a_0,a_1,a_2 soddisfano la relazione

a_0+2a_1+4a_2=c

Teniamo da parte questa informazione, ci servirà dopo.

Per fare in modo che U_{c} sia un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}_{2}[x], dobbiamo richiedere che il polinomio identicamente nullo (vettore nullo) appartenga a U_{c}

q(x)=0 \in U_{c} \ \ \ \iff \ \ \ q(2)=c

Siccome q(x) è il polinomio nullo, la sua valutazione in 2 coincide con 0 (q(2)=0), di conseguenza l'uguaglianza q(2)=c diventa

c=0

Deduciamo perciò che se c\ne 0, allora U_{c} non è un sottospazio vettoriale.

Per c=0 dobbiamo invece esaminare le condizioni.

Ora che disponiamo del valore di c, sostituiamolo in ogni occorrenza in U_{c}

U_{0}=\left\{p\in\mathbb{R}_{2}[x] \ \mbox{t.c.} \ p(2)=0\right\}


Chiusura rispetto alla somma

Consideriamo due polinomi p_1(x),p_2(x)\in U_{0}. Essendo entrambi elementi dell'insieme, essi soddisfano la condizione di appartenenza:

p_1(2)=0 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ p_2(2)=0

La loro somma

s(x)=p_1(x)+p_2(x)

appartiene ancora ad U_{0}, perché rispetta anch'essa la condizione di appartenenza.

s(2)=p_{1}(2)+p_2(2)=0+0=0

Possiamo affermare che U_{0} è chiuso rispetto alla somma tra polinomi.


Chiusura rispetto al prodotto per uno scalare

Consideriamo un polinomio p(x)\in U_{0}: dobbiamo verificare che per ogni \lambda\in\mathbb{R} si a che \lambda p(x)\in U_{0}.

Poiché p(x)\in U_{0}, allora soddisfa la condizione di appartenenza

p(2)=0

Per ogni numero reale \lambda anche il polinomio \lambda p(x) appartiene a U_{0}, infatti soddisfa la condizione di appartenenza

\lambda p(2)=0 \ \ \ \forall \lambda\in\mathbb{R}

Ciò prova che U_{0} è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare.

Poiché U_{0} contiene il polinomio nullo, e poiché è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare, possiamo concludere che è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}_{2}[x].


Dimensione del sottospazio

Per ricavare la dimensione del sottospazio U_{0} faremo riferimento alla definizione: la dimensione di un sottospazio è uguale al numero di vettori che compongono una sua qualsiasi base.

Si tratta perciò di determinare una base di U_{0} e di contare i vettori che la compongono.

Per rispondere alla richiesta, esplicitiamo la forma in cui deve presentarsi un polinomio affinché appartenga a U_{0}

p(x) dev'essere di secondo grado

p(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2 \ \ \ \mbox{con} \ a_0,a_1,a_2\in\mathbb{R}

e inoltre deve soddisfare la condizione p(2)=0, ossia

a_0+2a_1+4a_2=0

Da questa equazione isoliamo al primo membro uno dei coefficienti, ad esempio a_0

a_0=-2a_1-4a_2

e sostituiamo l'espressione ottenuta in quella di p(x) ricavando

p(x)=-2a_1-4a_2+a_1x+a_2x^2=

Raccogliendo rispetto ai coefficienti a_1,a_2, la precedente espressione diventa

= a_1(-2+x)+a_2(x^2-4)

Dall'ultima espressione si capisce che ogni polinomio di U_{0} si esprime nella combinazione lineare dei polinomi

q_{1}(x)=-2+x \ \ \ \mbox{e} \ \ \ q_2(x)=x^2-4

i quali costituiscono un sistema di generatori per il sottospazio.

U_{0}=\mbox{Span}(q_1(x),q_2(x))

Se riusciamo a dimostrare che q_{1}(x) \ \mbox{e} \ q_2(x) sono vettori linearmente indipendenti, possiamo concludere che essi costituiscono una base per il sottospazio.

A tal proposito imponiamo che sia nulla una loro generica combinazione lineare

\\ \alpha q_1(x)+\beta q_2(x)=0 \\ \\ \alpha (-2+x)+\beta (x^2-4)=0 \ \ \ \forall x\in\mathbb{R}

q_{1}(x)\ \mbox{e} \ q_2(x) sono linearmente indipendenti se e solo se l'ultima relazione è verificata esclusivamente per \alpha \ \mbox{e} \ \beta contemporaneamente nulli.

Espandiamo i prodotti

-2\alpha-4\beta+\alpha x+\beta x^2=0

e usiamo il principio di identità dei polinomi che ci permette di costruire il seguente sistema lineare

\begin{cases}-2\alpha-4\beta= \\ \alpha=0 \\ \beta =0\end{cases}

il quale è evidentemente soddisfatto esclusivamente dalla coppia (\alpha,\beta)=(0,0)!

È fatta! I vettori q_1(x),q_2(x) sono linearmente indipendenti e generano l'intero sottospazio U_{0}, per cui ne costituiscono una base

\mathcal{B}_{U_{0}}=\left\{q_1(x),q_2(x)\right\}=\left\{-2+x,x^2-4\right\}

La dimensione del sottospazio è quindi 2

\mbox{dim}(U_{0})=2

L'esercizio è concluso!
Ringraziano: Omega, Ifrit, xavier310
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Os