Verifica e dimensione di un sottospazio vettoriale di polinomi, esercizio

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Verifica e dimensione di un sottospazio vettoriale di polinomi, esercizio #3411

avt
xavier310
Sfera
In un esercizio di Algebra Lineare mi viene chiesto di determinare i valori di un parametro reale affinché un certo insieme sia un sottospazio vettoriale dello spazio dei polinomi di grado al più 2.

Sia U_c un sottoinsieme dello spazio dei polinomi di grado al più due, definito da

U_(c) = p ∈ R_2[x] | p(2) = c

Per quali valori di c∈R l’insieme U_c è un sottospazio vettoriale di R_2[x]?

E in tal caso che dimensione ha il corrispondente sottospazio vettoriale di polinomi?

Grazie!
 
 

Verifica e dimensione di un sottospazio vettoriale di polinomi, esercizio #3423

avt
frank094
Sfera
Il problema ci chiede di determinare il valore del parametro reale k affinché l'insieme

U_(c) = p∈R_(2)[x] t.c. p(2) = c

sia un sottospazio vettoriale dello spazio dei polinomi di grado al più 2.

In generale affinché un sottoinsieme U di uno spazio vettoriale V sia un sottospazio vettoriale di V, bisogna verificare che:

(1) il vettore nullo di V appartenga a U

0_(V)∈ U

Se così non fosse, U non sarebbe un sottospazio vettoriale.

(2) U sia chiuso rispetto alla somma e rispetto al prodotto per uno scalare. In altre parole:

- se u_1,u_2∈ U, la loro somma appartiene a U

u_1+u_(2)∈ U

- se u∈ U, per ogni λ∈K si ha che il prodotto λ u è ancora un elemento di U.


Risoluzione del problema

L'insieme U_(c) è costituito dai polinomi di grado al più 2 la cui valutazione in due 2 deve essere uguale a c.

Indichiamo con p(x) un generico polinomio di grado al più 2

p(x) = a_0+a_1 x+a_2 x^2 con a_0,a_1,a_2∈R

e valutiamolo in x = 2

p(2) = a_0+2a_1+4a_2

Questo polinomio appartiene a U_(c) se e solo se p(2) = c (condizione di appartenenza), ossia se a_0,a_1,a_2 soddisfano la relazione

a_0+2a_1+4a_2 = c

Teniamo da parte questa informazione, ci servirà dopo.

Per fare in modo che U_(c) sia un sottospazio vettoriale di R_(2)[x], dobbiamo richiedere che il polinomio identicamente nullo (vettore nullo) appartenga a U_(c)

q(x) = 0 ∈ U_(c) ⇔ q(2) = c

Siccome q(x) è il polinomio nullo, la sua valutazione in 2 coincide con 0 (q(2) = 0), di conseguenza l'uguaglianza q(2) = c diventa

c = 0

Deduciamo perciò che se c ne 0, allora U_(c) non è un sottospazio vettoriale.

Per c = 0 dobbiamo invece esaminare le condizioni.

Ora che disponiamo del valore di c, sostituiamolo in ogni occorrenza in U_(c)

U_(0) = p∈R_(2)[x] t.c. p(2) = 0


Chiusura rispetto alla somma

Consideriamo due polinomi p_1(x),p_2(x)∈ U_(0). Essendo entrambi elementi dell'insieme, essi soddisfano la condizione di appartenenza:

p_1(2) = 0 e p_2(2) = 0

La loro somma

s(x) = p_1(x)+p_2(x)

appartiene ancora ad U_(0), perché rispetta anch'essa la condizione di appartenenza.

s(2) = p_(1)(2)+p_2(2) = 0+0 = 0

Possiamo affermare che U_(0) è chiuso rispetto alla somma tra polinomi.


Chiusura rispetto al prodotto per uno scalare

Consideriamo un polinomio p(x)∈ U_(0): dobbiamo verificare che per ogni λ∈R si a che λ p(x)∈ U_(0).

Poiché p(x)∈ U_(0), allora soddisfa la condizione di appartenenza

p(2) = 0

Per ogni numero reale λ anche il polinomio λ p(x) appartiene a U_(0), infatti soddisfa la condizione di appartenenza

λ p(2) = 0 ∀ λ∈R

Ciò prova che U_(0) è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare.

Poiché U_(0) contiene il polinomio nullo, e poiché è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare, possiamo concludere che è un sottospazio vettoriale di R_(2)[x].


Dimensione del sottospazio

Per ricavare la dimensione del sottospazio U_(0) faremo riferimento alla definizione: la dimensione di un sottospazio è uguale al numero di vettori che compongono una sua qualsiasi base.

Si tratta perciò di determinare una base di U_(0) e di contare i vettori che la compongono.

Per rispondere alla richiesta, esplicitiamo la forma in cui deve presentarsi un polinomio affinché appartenga a U_(0)

p(x) dev'essere di secondo grado

p(x) = a_0+a_1 x+a_2 x^2 con a_0,a_1,a_2∈R

e inoltre deve soddisfare la condizione p(2) = 0, ossia

a_0+2a_1+4a_2 = 0

Da questa equazione isoliamo al primo membro uno dei coefficienti, ad esempio a_0

a_0 = -2a_1-4a_2

e sostituiamo l'espressione ottenuta in quella di p(x) ricavando

p(x) = -2a_1-4a_2+a_1x+a_2x^2 =

Raccogliendo rispetto ai coefficienti a_1,a_2, la precedente espressione diventa

= a_1(-2+x)+a_2(x^2-4)

Dall'ultima espressione si capisce che ogni polinomio di U_(0) si esprime nella combinazione lineare dei polinomi

q_(1)(x) = -2+x e q_2(x) = x^2-4

i quali costituiscono un sistema di generatori per il sottospazio.

U_(0) = Span(q_1(x),q_2(x))

Se riusciamo a dimostrare che q_(1)(x) e q_2(x) sono vettori linearmente indipendenti, possiamo concludere che essi costituiscono una base per il sottospazio.

A tal proposito imponiamo che sia nulla una loro generica combinazione lineare

α q_1(x)+β q_2(x) = 0 ; α (-2+x)+β (x^2-4) = 0 ∀ x∈R

q_(1)(x) e q_2(x) sono linearmente indipendenti se e solo se l'ultima relazione è verificata esclusivamente per α e β contemporaneamente nulli.

Espandiamo i prodotti

-2α-4β+α x+β x^2 = 0

e usiamo il principio di identità dei polinomi che ci permette di costruire il seguente sistema lineare

-2α-4β = ; α = 0 ; β = 0

il quale è evidentemente soddisfatto esclusivamente dalla coppia (α,β) = (0,0)!

È fatta! I vettori q_1(x),q_2(x) sono linearmente indipendenti e generano l'intero sottospazio U_(0), per cui ne costituiscono una base

mathcalB_(U_(0)) = q_1(x),q_2(x) = -2+x,x^2-4

La dimensione del sottospazio è quindi 2

dim(U_(0)) = 2

L'esercizio è concluso!
Ringraziano: Omega, Ifrit, xavier310
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Os