Trovare l'equazione della retta passante per un punto e incidente due rette nello spazio

Buonasera ragazzi. Potete aiutarmi con la risoluzione di questo esercizio?
Trova equazioni cartesiane per la retta:
passante per il punto P=(2,3,-1) e intersecante la retta r di equazioni parametriche



ed s di equazioni parametriche

Ciao Xavier, sono giorni di fuoco qui su YouMath.

Rendimi fiero di te e di tutta l'Algebra lineare di cui hai parlato con lo Staff: per risolvere l'esercizio e trovare la retta incidente le due rette assegnate, che sono date mediante equazioni parametriche, bisogna procedere in questo modo:

1) Determinare il piano contenente la prima retta e passante per il punto assegnato: ;

2) Idem come sopra, nel caso della seconda retta. Si trova un altro piano, in forma di equazione cartesiana.

3) La retta che cerchiamo è data dall'intersezione dei due piani, e quindi dal sistema tra le due equazioni cartesiane dei rispettivi piani. Una forma cartesiana praticamente gratuita...

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Se, e dico se, dovessi avere problemi a determinare l'equazione del piano che passa per un punto e contiene una retta, ti basti osservare che un tale piano viene individuato sempre e comunque dalla direzione di una retta ad esso perpendicolare. Dunque...

1.a) Prendi la direzione della retta che il piano deve contenere

1.b) Prendi il punto per il quale deve passare il piano, cioè e poi scegliti un altro punto che appartiene alla retta (possibilmente comodo comodo, ad esempio per il valore del parametro nullo). Calcola la direzione che congiunge i due punti , data da

1.c) Determina i parametri direttori del piano:



calcolando la direzione di una retta normale al piano. Ossia: calcola il prodotto vettoriale delle direzioni delle due rette, in questo modo trovi la direzione della retta perpendicolare ad entrambe, e quindi perpendicolare al piano.

1.d) Imponi il passaggio del piano per il punto , ossia imponi che le coordinate del punto verifichino l'equazione del piano: in questo modo trovi il parametro .

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Fammi sapere se hai difficoltà con i calcoli

Ciò che non mi ha spinto verso la risoluzione che si base sull'intersezione dei due piani è perchè credevo che non è sicuro che i due piani s intersecano, in quanto se le due rette sono parallele o sghembe non è possibile che pur avendo i due piani, i piani s'intersecano ma le rette no e di conseguenza la retta individuata dai due piani non passa per le due rette? (Spero di essere riuscito a farmi capire)

Se le due rette fossero complanari, parallele o incidenti (onestamente non ho fatto i calcoli) allora l'esercizio sarebbe ancora più semplice. Ma se le rette sono sghembe (mentivo: si vede ad occhio che sono sghembe, basta guardare le direzioni nelle parametriche ) allora prendendo i due piani che passano per il punto assegnato e intersecandoli la retta che determini le interseca necessariamente entrambe.

Quindi devo imporre che i piani delle due rette passino per il punto assegnato? Ma pur passando per il punto non è detto che la retta che interseca i due piani automaticamente interseca anche le rette (ho un tantino di confusione in testa:P )

Inoltre, anche avendo due piani contenenti le due rette sghembe che si intersecano, possono anche coincidere in una retta che non interseca entrambe le rette
Per riuscire a farmi capire, io immagino due piani che si intersecano perpendicolarmente: ogni piano contiene una retta sghemba rispetto all'altra ma comunque perpendicolari
L'intersezione data dai due piani è la retta che cerco, ma il problema è che interseca una sola retta mentre per l'altra è parallela

?? ecco provo ad inserire un disegno per riuscire a farmi capire e a togliere questo dubbio

Ma l'oggetto del topic non era l'esercizio in questione? Nel senso che l'esercizio è quello del primo post e ti ho suggerito un procedimento. Il discorso si pone in modo del tutto diverso se si cerca un metodo risolutivo in generale. Naturalmente non sempre la retta cercata esiste, e soprattutto in generale non conosci aprioristicamente la direzione delle due rette.

[OT]Con un piccolo excursus: prendi un integrale, ad esempio di una funzione razionale, che ha integranda un'arcotangente. Ti suggerisco di guardare bene l'integranda perché forse forse c'è una funzione elementare trigonometrica che potrebbe fare da primitiva. Mi dici che non hai proceduto in questo modo perché ci sono funzioni razionali che non hanno una primitiva trigonometrica elementare, ad esempio nel caso in cui il grado del polinomio a numeratore sia superiore a quello del polinomio a denominatore. Ok, lì non funziona, ma è tutta un'altra faccenda! Non so se ho reso l'idea [/OT]

Torniamo a noi: nell'esercizio hai provato a procedere nel modo suggerito?

Nel caso di rette come nel tuo (peraltro bellissimo - come l'hai fatto? ) disegno, se il punto lo prendi a priori sulla retta intersezione dei due piani (e non appartenente alla retta azzurra) la retta cercata non esiste. L'unico caso è quello in cui il punto appartiene all'intersezione dei due piani e alla retta azzurra: ma in tal caso non serve procedere in quel modo, l'esercizio sarebbe molto più semplice.

Forse siamo arrivati al punto critico :
"L'unico caso è quello in cui il punto appartiene all'intersezione dei due piani e alla retta azzurra"
Il fatto che io ho in testa che pur appartenendo all'intersezione dei due piani e alla retta azzurra, tale retta può anche non intersecare tutte e due le rette, in quanto le rette sono sghembe e perpendicolari, quindi pur facendo intersecare i piani, tale retta non intersecherebbe entrambe le rette. Dov'è che sbaglio?

Aspetta, probabilmente non ci siamo capiti. Rileggi i miei post precedenti, in particolare

In questo caso il problema non si pone proprio (non è comunque questo il caso dell'esercizio in oggetto iniziale). In questo caso, se il punto appartenesse all'intersezione tra i due piani e alla retta azzurra, l'esercizio sarebbe ben più semplice, perché il punto apparterrebbe in particolare alla retta azzurra. Quindi ti basterebbe prendere un qualsiasi punto appartenente all'altra retta e individuare la retta passante per i due punti.