Diagonalizzazione della matrice, nucleo e immagine

Mi serve il vostro aiuto per risolvere un esercizio sulle applicazioni lineari in cui mi viene chiesto di determinare la matrice associata a un'applicazione lineare sfruttando alcune condizioni sugli autovalori, sugli autovettori e sul nucleo. Come se non bastasse, dovrei dire se l'applicazione è diagonalizzabile.

Sia l'operatore lineare definito dalle seguenti condizioni:

- il vettore è l'autovettore di autovalore ;

- il vettore è l'autovettore di autovalore ;

- il nucleo dell'applicazione è il sottospazio definito dalle equazioni



1. Determinare la matrice rispetto la base standard di presa come base di partenza e di arrivo.

2. Determinare una base dell'immagine di .

3. Dire se è un endomorfismo diagonalizzabile.

Grazie mille.

L'applicazione lineare è definita mediante le seguenti condizioni:

- il vettore è l'autovettore dell'endomorfismo riferito all'autovalore ;

- il vettore è l'autovettore riferito all'autovalore

Queste due informazioni non bastano per ricavare la matrice associata all'applicazione lineare, che indichiamo con , dobbiamo infatti esaminare più a fondo la condizione che mette in ballo il nucleo dell'operatore.

L'esercizio ci informa infatti che il nucleo è definito dalle equazioni lineari



vale a dire:




Base del nucleo

Calcoliamo una base del nucleo: per farlo occorre risolvere il sistema lineare composto dalle equazioni che definiscono il nucleo:



Dalla prima equazione isoliamo , mentre dalla seconda isoliamo



Da ciò comprendiamo che un generico vettore



appartiene al nucleo di se e solo se la prima componente coincide con l'opposto della seconda e la terza componente coincide con l'opposto della quarta



Eleggiamo a parametri ribattezzandoli rispettivamente in



In definitiva, ogni vettore del kernel si presenta nella forma



per cui il nucleo è generato dai vettori



che ne costituiscono una base perché linearmente indipendenti.



In accordo con la teoria degli autovalori e degli autovettori, il nucleo di un endomorfismo coincide con l'autospazio relativo all'autovalore nullo , e inoltre la molteplicità geometrica dell'autovalore coincide con la dimensione del



Queste proprietà ci autorizzano a scrivere che sono autovettori relativi all'autovalore , la cui molteplicità geometrica è pari a .


Osservazioni sulla molteplicità geometrica e sulla molteplicità algebrica

Facciamo il punto della situazione. Sappiamo che l'endomorfismo ammette 3 autovalori



Dall'analisi sul nucleo sappiamo che la molteplicità geometrica di è due,



così come sappiamo che:



Il nostro intento ora consiste nel dimostrare con queste informazioni che le molteplicità algebriche degli autovalori coincidono con le rispettive molteplicità geometriche, ossia vogliamo mostrare che:



e che la somma delle molteplicità algebriche coincide con la dimensione dello spazio vettoriale



Queste condizioni garantiranno la diagonalizzabilità dell'endomorfismo .

Grazie alla disuguaglianza notevole



possiamo esprimere le seguenti relazioni



le quali giustificano la seguente



da cui segue che la somma delle molteplicità algebriche è .



Perfetto, la prima condizione per la diagonalizzabilità è soddisfatta. Dobbiamo solo dimostrare che, per ciascun autovalore, la molteplicità algebrica coincide con quella geometrica.

Sempre dalle disuguaglianze deduciamo immediatamente le seguenti disuguaglianze



per cui isolando al primo membro al primo membro di:



si ha



pertanto la molteplicità algebrica di è due, così come lo è la sua molteplicità algebrica.

Attenzione ora: poiché , allora la somma tra la molteplicità algebrica di e quella di deve essere necessariamente essere pari a 2, infatti



Non potendo essere nulle, necessariamente:



Se così non fosse, si raggiungerebbe un assurdo!

Possiamo finalmente affermare che l'endomorfismo è diagonalizzabile perché rispetta entrambe le condizioni.


Matrice associata all'endomorfismo

Sia la matrice associata a relativa alla base canonica di , poiché è diagonalizzabile lo è anche la matrice che la rappresenta.

In accordo con la definizione di matrice diagonalizzabile, esiste una matrice invertibile tale che



dove è la matrice diagonale avente per elementi diagonali gli autovalori di



mentre è la matrice che ha per colonne gli autovettori di (sono e ).



Calcolata l'inversa di , che è:



possiamo calcolare sfruttando l'uguaglianza



Moltiplicando membro a membro per (da sinistra) e (da destra), segue che:




Immagine dell'applicazione lineare

Ora che disponiamo della matrice associata a , il calcolo dell'immagine dell'applicazione lineare è pressoché immediata.

Per prima cosa usiamo l'algoritmo di Gauss per ridurre in una matrice a gradini.

Passiamo quindi dalla matrice



alla matrice



avente due pivot:

.

Le colonne della matrice che corrispondono alle colonne di contenenti i pivot costituiscono una base per l'immagine, per cui:



Abbiamo finito.