Autovalori Autospazi Autovettori, esercizio

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Autovalori Autospazi Autovettori, esercizio #3322

avt
marcolino87
Cerchio
Buongiorno a tutti sono nuovo del forum e vorrei chiedervi una mano per un esercizio su autovalori, autovettori e autospazi; di seguito il testo..

"Data la matrice A=
| 111 |
| 120 |
| 102 |

si determini una matrice non singolare N appartenente ai Reali t.c.
N^-1 A N sia una matrice diagonale."

Da questo esercizio io ricavo il polinomio caratteristico dato da (1-t)*(2-t)^2

Non sono sicuro se il polinomio caratteristico sia corretto...

da cui ricavo due autovalori
-C1= 1 con ma(1)=1
-C2= 2 con ma(2)=2

ora trovo gli autospazi da cui ricavo gli autovettori per ogni autovalore.

Se calcolo l'autospazio con l'autovalore C1, riduco a scalini arrivo a questa situazione:

|100|
|010|
|001|

cioè i tre vettori sono linearmente indipendenti e non riesco a capire come procedere; cioè non capisco se A è diagonalizzabile.

Spero di essere stato chiaro nel spiegare il problema...

Un grazie anticipato a tutti
 
 

Autovalori Autospazi Autovettori, esercizio #3328

avt
Ifrit
Amministratore
Potresti controllare il polinomio caratteristico? A me viene diverso.

p(\lambda)= -\lambda (\lambda-2)(\lambda-3)

Ma visto che sono uno che sbaglia spesso i conti, emt, potresti controllare anche tu? emt
Ringraziano: Omega, frank094

Autovalori Autospazi Autovettori, esercizio #3329

avt
marcolino87
Cerchio
Infatti avevo scritto che non ne ero sicuro...

Comunque ora ho rifatto i conti e mi viene:

-t (t-2) (t-3).

Quindi i tuoi conti sono corretti

Autovalori Autospazi Autovettori, esercizio #3330

avt
Ifrit
Amministratore
Abbiamo tre radici distinte, ciascuna di molteplicità algebrica e geometrica pari ad 1. Di conseguenza la matrice di partenza è sicuramente diagonalizzabile, ti trovi?
Ringraziano: Omega

Autovalori Autospazi Autovettori, esercizio #3331

avt
marcolino87
Cerchio
mi trovo alla fase della molteplicità algebrica pari a uno per tutte e tre le radici, ora ho rifatto i conti e ho trovato gli autospazi per ogni autovalore da cui ho ricavato gli autovettori (uno per ogni autovalore).
Trovata la base degli autovettori trovo la matrice sulla cui diagonale ci sono gli autovalori.

Però può succedere che nel calcolo di un autospazio arrivo a questo punto
|100|
|010|
|001|
????
In tal caso che devo dire?
Ringraziano: Ifrit

Autovalori Autospazi Autovettori, esercizio #3332

avt
Ifrit
Amministratore
Scusami se ci metto tanto, ma sto cercando di capire cosa intendi, non per la poca chiarezza da parte tua, ma per mia ignoranza xD.

Stai chiedendo se può succedere che:
Fissato un autovalore della matrice A che chiamo \lambda, A-\lambda I, una volta ridotta a scala, risulta essere la matrice identica, giusto?

Se è così sappi che la risposta è no, non può accadere, implicherebbe che la matrice in questione A-\lambda I avrebbe rango massimo, e quindi determinante diverso da zero.
Da ciò segue che \lambda non può essere autovalore della matrice A, il ché porterebbe ad un assurdo.
Ringraziano: Omega, frank094

Autovalori Autospazi Autovettori, esercizio #3333

avt
marcolino87
Cerchio
Hai chiarito perfettamente la mia domanda...
Scusami se sono stato poco chiaro e per la domanda stupida che ho fatto per colpa delle mie carenze sull'argomento... Ho capito tutto e grazie per le tue risposte.

Volevo chiedere un'altra delucidazione su questa matrice:

|2 0 1|
|2 0 1|
|1 -1 0|

a me risulta non diagonalizzabile perchè la molteplicità algebrica e geometrica dell'autovalore 0 sono diverse.
La risposta può essere corretta?

Autovalori Autospazi Autovettori, esercizio #3335

avt
Ifrit
Amministratore
Ok, secondo i miei beneamati calcoli:

m_a(0)=2> m_g(0)=1

Ti torna? Se ti torna allora la matrice non è diagonalizzabile emt
Ringraziano: Omega, frank094

Autovalori Autospazi Autovettori, esercizio #3337

avt
marcolino87
Cerchio
Siiiii grazie mille emt emt emt ....

Siccome ho l'esame a gennaio, sono un po preoccupato e sto cercando conferme su come si svolgono gli esercizi...

Ho un'ultima matrice che mi crea dei dubbi

|1 0 2|
|0 3 0|
|1 0 2|

devo dire se è diagonalizzabile, riesco a trovare autovalori
C1= 0 con ma=1
C2= 3 con ma=2

trovo l'autovettore per C1,

ma quando cerco gli altri che dovrebbero riferirsi a C2, arrivo a questo punto

| 1 0 -1|
| 0 0 0 |
| 0 0 0 |

il che mi risulta corretto perchè devo avere due varibili libere per avere altri due autovettori che si riferiscono a C2, ma non riesco a calcolare proprio l'autovettore.

Autovalori Autospazi Autovettori, esercizio #3339

avt
Ifrit
Amministratore
Confermo tutto quello che hai detto. Per trovare l'autovettore associato all'autovalore \lambda=3 devi risolvere:

\left[\begin{matrix}1 &0&-1\\0&0&0\\0&0&0\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}\right]

Da cui l'unica equazione significativa che ottieni è x-z=0\implies x=z

\left[\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix}z\\y\\z\end{matrix}\right]= z\left[\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix}\right]+y \left[\begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\right]

Chiaro? emt
Ringraziano: Omega, frank094
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Os