Verificare che un sottoinsieme è un sottospazio

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Verificare che un sottoinsieme è un sottospazio #31338

  • aristofane
  • avt
  • Cerchio
Ciao, facendo degli esercizi in cui bisogna verificare che dei dati sottoinsiemi sono dei sottospazi, ho trovato una notazione che non avevo mai visto

E=\{(2r+3s,r,r,r)\ |\ r,s\in \mathbb{R}\}.

Come si verifica che questo sottoinsieme è un sottospazio di R4?

Grazie in anticipo.

 
 
 

Verificare che un sottoinsieme è un sottospazio #31356

  • Omega
  • avt
  • Amministratore
Ciao Aristofane

Al di là della notazione, il principio non cambia: si tratta di verificare che il sottoinsieme dato è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^4, dunque bisogna verificare che esso sia chiuso per linearità (somma e moltiplicazione per scalari)

\forall v,w\in E e \forall a,b\in \mathbb{R} dobbiamo avere av+bw\in E.


Per verificare la linearità è sufficiente mostrare che, prendendo a,b\in\mathbb{R} e r_1,s_1,r_2,s_2\in\mathbb{R}

a(2r_1+3s_1,r_1,r_1,r_1)+b(2r_2+3s_2,r_2,r_2,r_2)=

=(2ar_1+3as_1,ar_1,ar_1,ar_1)+(2br_2+3bs_2,br_2,br_2,br_2)=

=(2ar_1+2br_2+3as_1+3bs_2,ar_1+br_2,ar_1+br_2,ar_1+br_2)=

=(2(ar_1+br_2)+3(as_1+bs_2),(ar_1+br_2),(ar_1+br_2),(ar_1+br_2))=

la linearità è dunque verificata, perché (ar_1+br_2),(as_1+3bs_2)\in\mathbb{R}.

Avremmo comunque potuto evitare la trafila di cui sopra e riscrivere il generico elemento di E come

(2r+3s,r,r,r)=r(2,1,1,1)+s(1,0,0,0)

da cui avremmo direttamente concluso che E è lineare, in quanto linearmente generato dai due vettori (2,1,1,1),(1,0,0,0).

Ringraziano: Pi Greco, aristofane, DottorBoss, DavideFranzoia
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