Ho bisogno di aiuto in questo esercizio sul passaggio da eq cartesiane a parametriche

Ciao ragazzi. Avrei urgente bisogno di aiuto nella comprensione di questa soluzione. Potreste aiutarmi?

Sia V il sottospazio affine di dato da



determina equazioni parametriche di V

SOLUZIONE

Il sottospazio di giacitura di V ha equazione e una base sua è (come ha fatto a trovarela base?). Essendo equazioni parametriche per V sono allora



Praticamente non ci ho capito nulla :(

Ciao Xavier, non mi torna la base del sottospazio di giacitura, potresti controllare gentilmente?

io mi trovo:



Salvo eventuali erroracci

Allora...

Tu sai che tutti i punti che soddisfano tale equazione si trovano sullo spazio di equazione x1-x2+x4=1. Sai che è uno spazio a 2 dimensioni perchè appartiene a R4 ed è descritto da una sola equazione.

Risolvi dunque il "sistema" tenendo 3 parametri liberi:
x1=x2-x4+1
x2=x2
x3=x3
x4=x4

Otterrai dunque un vettore di coordinate
(x1;x2;x3;x4)=(1;0;0;0)+s(1;1;0;0)+t(0;0;1;0)+k(-1;0;0;1)

che è l'equazione parametrica del tuo spazio affine!

Avevo sbagliato: Ifrit questa è la base:

Neumann,
avendo corretto la base misa che i tuoi conti non tornano

Guarda ho ricontrollato, i miei conti tornano. Bisognerebbe verifivare se entrambe le basi generano lo stesso spazio, non ne esiste una sola!

Perfetto, normalizzando la mia base ottengo anche il tuo terzo vettore, dunque i risultati sono equivalenti.

Scusami Neumann, potresti dimostrami come i due risultati sono equivalenti? Cioè potresti cortesemente mostrare i passaggi effettuati per arrivare alla base che ho corretto successivamente?

Perfetto, allora, due elementi della base li abbiamo uguali. Ora renderò la mia base ortonormale, cioè composta da versori normali tra di loro.
Il primo vettore (1;1;0;0) lo divido per radice di 2 e diventa versore.
Il secondo vettore (0;0;1;0) è già versore ed è anche normale rispetto al primo, perchè basta verificarlo attraverso il prodotto scalare.
Ora rimane l'ultimo vettore (-1;0;0;1). Lo ortonormalizzo con l'algoritmo di Gram-Schmidt.

Dunque

(-1;0;0;1)-((-1;0;0;1)*(0;0;1;0))e3-[((1/(2^(1/2)))((1;1;0;0)*(-1;0;0;1)](e1+e2)((1/(2^(1/2))) = (-0.5;0.5;0;1)
Rimane solo da normalizzarlo, ma non importa.

Fai lo stesso procedimento con il terzo vettore della tua base ed otterrai il mio stesso vettore!

:( :( non ho capito. Non c'è un modo più semplice per ricavare la base in questo caso?

E le equazioni parametriche proposte nella soluzione come si ricavano?

Inoltre perchè specifica che e1 appartiene a V?