Ho bisogno di aiuto in questo esercizio sul passaggio da eq cartesiane a parametriche

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Ho bisogno di aiuto in questo esercizio sul passaggio da eq cartesiane a parametriche #3128

avt
xavier310
Sfera
Ciao ragazzi. Avrei urgente bisogno di aiuto nella comprensione di questa soluzione. Potreste aiutarmi?

Sia V il sottospazio affine di \mathbb{R}^4 dato da

V=\left {\begin{vmatrix} x_1  \\ x_2 \\x_3\\x_4 \end{vmatrix}{ \left | x_1-x_2+x_4=1 \right}

determina equazioni parametriche di V

SOLUZIONE

Il sottospazio di giacitura di V ha equazione x_1-x_2+x_4=0 e una base sua è \{e_1+e_2,e_3,e_2+e_4\}(come ha fatto a trovarela base?). Essendo e_1 \in V equazioni parametriche per V sono allora

V= \begin{Bmatrix} x_1=t_1+1  \\ x_2=t_1+t_3 \\x_3=t_2\\x_4=t_3 \end{Bmatrix}

Praticamente non ci ho capito nulla :(
 
 

Ho bisogno di aiuto in questo esercizio sul passaggio da eq cartesiane a parametriche #3132

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Xavier, non mi torna la base del sottospazio di giacitura, potresti controllare gentilmente?

io mi trovo:

\{e_1-e_4, e_3, e_2+e_4\}

Salvo eventuali erroracci emt
Ringraziano: Omega, frank094, xavier310

Ho bisogno di aiuto in questo esercizio sul passaggio da eq cartesiane a parametriche #3133

avt
Neumann
Frattale
Allora...

Tu sai che tutti i punti che soddisfano tale equazione si trovano sullo spazio di equazione x1-x2+x4=1. Sai che è uno spazio a 2 dimensioni perchè appartiene a R4 ed è descritto da una sola equazione.

Risolvi dunque il "sistema" tenendo 3 parametri liberi:
x1=x2-x4+1
x2=x2
x3=x3
x4=x4

Otterrai dunque un vettore di coordinate
(x1;x2;x3;x4)=(1;0;0;0)+s(1;1;0;0)+t(0;0;1;0)+k(-1;0;0;1)

che è l'equazione parametrica del tuo spazio affine!
Ringraziano: Omega, frank094, Ifrit, xavier310

Ho bisogno di aiuto in questo esercizio sul passaggio da eq cartesiane a parametriche #3136

avt
xavier310
Sfera
Avevo sbagliato: Ifrit questa è la base:

\{e_1+e_2, e_3, e_2+e_4\}

Ho bisogno di aiuto in questo esercizio sul passaggio da eq cartesiane a parametriche #3509

avt
xavier310
Sfera
Neumann,
avendo corretto la base misa che i tuoi conti non tornano

Ho bisogno di aiuto in questo esercizio sul passaggio da eq cartesiane a parametriche #3566

avt
Neumann
Frattale
Guarda ho ricontrollato, i miei conti tornano. Bisognerebbe verifivare se entrambe le basi generano lo stesso spazio, non ne esiste una sola!
Ringraziano: Omega, frank094, xavier310

Ho bisogno di aiuto in questo esercizio sul passaggio da eq cartesiane a parametriche #3575

avt
Neumann
Frattale
Perfetto, normalizzando la mia base ottengo anche il tuo terzo vettore, dunque i risultati sono equivalenti.
Ringraziano: Omega, frank094, xavier310

Ho bisogno di aiuto in questo esercizio sul passaggio da eq cartesiane a parametriche #3686

avt
xavier310
Sfera
Scusami Neumann, potresti dimostrami come i due risultati sono equivalenti? Cioè potresti cortesemente mostrare i passaggi effettuati per arrivare alla base che ho corretto successivamente?

Ho bisogno di aiuto in questo esercizio sul passaggio da eq cartesiane a parametriche #3694

avt
Neumann
Frattale
Perfetto, allora, due elementi della base li abbiamo uguali. Ora renderò la mia base ortonormale, cioè composta da versori normali tra di loro.
Il primo vettore (1;1;0;0) lo divido per radice di 2 e diventa versore.
Il secondo vettore (0;0;1;0) è già versore ed è anche normale rispetto al primo, perchè basta verificarlo attraverso il prodotto scalare.
Ora rimane l'ultimo vettore (-1;0;0;1). Lo ortonormalizzo con l'algoritmo di Gram-Schmidt.

Dunque

(-1;0;0;1)-((-1;0;0;1)*(0;0;1;0))e3-[((1/(2^(1/2)))((1;1;0;0)*(-1;0;0;1)](e1+e2)((1/(2^(1/2))) = (-0.5;0.5;0;1)
Rimane solo da normalizzarlo, ma non importa.

Fai lo stesso procedimento con il terzo vettore della tua base ed otterrai il mio stesso vettore!
Ringraziano: Omega, frank094, xavier310

Ho bisogno di aiuto in questo esercizio sul passaggio da eq cartesiane a parametriche #3728

avt
xavier310
Sfera
:( :( non ho capito. Non c'è un modo più semplice per ricavare la base in questo caso?

E le equazioni parametriche proposte nella soluzione come si ricavano?

Inoltre perchè specifica che e1 appartiene a V?
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