Verificare che i vettori siano un sistema di generatori dello spazio vettoriale

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Verificare che i vettori siano un sistema di generatori dello spazio vettoriale #30797

avt
fuffy
Cerchio
Dovrei verificare che quattro vettori parametrici individuano un sistema di generatori di \mathbb{R}^3 per ogni valore del parametro, ma non non so come procedere.

Dimostrare che i vettori

\\ \mathbf{v}_1=(1,1,0) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_2=(0,1,-a) \\ \\ \mathbf{v}_3=(-a,0,1-a^2) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_4=(-a,1,a)

costituiscono un sistema di generatori di \mathbb{R}^3 per ogni a \in \mathbb{R}.
 
 

Re: Verificare che i vettori siano un sistema di generatori dello spazio vettoriale #30800

avt
Omega
Amministratore
I vettori

\\ \mathbf{v}_1=(1,1,0) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_2=(0,1,-a) \\ \\ \mathbf{v}_3=(-a,0,1-a^2) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_4=(-a,1,a)

costituiscono un sistema di generatori di \mathbb{R}^3 per ogni a \in \mathbb{R} se e solo se ogni vettore di \mathbb{R}^3 si può esprimere attraverso una loro combinazione lineare quale che sia il valore assunto da a.

Sia, allora, \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3) un qualsiasi vettore di \mathbb{R}^3, e imponiamo che sia

\lambda_1\mathbf{v}_1+\lambda_2\mathbf{v}_2+\lambda_3\mathbf{v}_3+\lambda_4\mathbf{v}_4=\mathbf{w}

Sostituiamo ogni vettore con le proprie componenti

\lambda_1(1,1,0)+\lambda_2(0,1,-a)+\lambda_3(-a,0,1-a^2)+\lambda_4(-a,1,a)=(w_1,w_2,w_3)

e svolgiamo le operazioni tra vettori a primo membro

(\lambda_1-a\lambda_3-a\lambda_4, \ \lambda_1+\lambda_2+\lambda_4, \ -a\lambda_2+(1-a^2)\lambda_3+a\lambda_4) = (w_1,w_2,w_3)

Due vettori sono uguali se sono tali le componenti che occupano la stessa posizione, dunque dev'essere

\begin{cases}\lambda_1-a\lambda_3-a\lambda_4=w_1 \\ \lambda_1+\lambda_2+\lambda_4=w_2 \\ -a\lambda_2+(1-a^2)\lambda_3+a\lambda_4=w_3\end{cases}

Ci siamo così ricondotti a un sistema lineare parametrico nelle incognite \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4, pertanto \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4 individuano un sistema di generatori di \mathbb{R}^3 per ogni a \in \mathbb{R} a patto che il sistema sia compatibile per ogni a \in \mathbb{R}.

Per il teorema di Rouché Capelli il sistema ammette soluzioni se e solo se i ranghi delle matrici incompleta e completa a esso associate coincidono. Tali matrici sono

\\ A=\begin{pmatrix}1&0&-a&-a \\ 1&1&0&1 \\ 0&-a&1-a^2&a\end{pmatrix} \\ \\ \\ (A|\mathbf{b})=\left(\begin{matrix}1&0&-a&-a \\ 1&1&0&1 \\ 0&-a&1-a^2&a\end{matrix} \right|\left \begin{matrix}w_1 \\ w_2 \\ w_3\end{matrix}\right)

Calcoliamo il rango della matrice completa col metodo di eliminazione gaussiana.

Sostituiamone la seconda riga con la somma tra l'opposto della prima e la seconda

\\ R_2 \ \to \ -R_1+R_2 = \\ \\ = -\begin{pmatrix}1&0&-a&-a&|&w_1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1&1&0&1&|&w_2\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}-1&0&a&a&|&-w_1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1&1&0&1&|&w_2\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0&1&a&a+1&|&-w_1+w_2\end{pmatrix}

ottenendo la matrice

(A|\mathbf{b})'=\left(\begin{matrix}1&0&-a&-a \\ 0&1&a&a+1 \\ 0&-a&1-a^2&a\end{matrix}\right|\left\begin{matrix}w_1 \\ -w_1+w_2 \\ w_3\end{matrix}\right)

Completiamo la riduzione a scala con la seguente sostituzione

\\ R_3 \ \to \ aR_2+R_3 = \\ \\ = a\begin{pmatrix}0&1&a&a+1&|&-w_1+w_2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0&-a&1-a^2&a&|&w_3\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0&a&a^2&a^2+a&|&-aw_1+aw_2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0&-a&1-a^2&a&|&w_3\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0&0&1&a^2+2a&|&-aw_1+aw_2+w_3\end{pmatrix}

La matrice a gradini risultante è

(A|\mathbf{b})''=\left(\begin{matrix}1&0&-a&-a \\ 0&1&a&a+1 \\ 0&0&1&a^2+2a\end{matrix}\right|\left\begin{matrix}w_1 \\ -w_1+w_2 \\ -aw_1+aw_2+w_3\end{matrix}\right)

i cui pivot sono:

a_{11}'' = 1 \ \ ; \ \ a_{22}''=1 \ \ ; \ \ a_{33}''=1

La matrice ridotta associata ad A è la matrice A'' che si estrae da (A|\mathbf{b})'' eliminandone l'ultima colonna, ossia

A''=\begin{pmatrix}1&0&-a&-a \\ 0&1&a&a+1 \\ 0&0&1&a^2+2a\end{pmatrix}

e ha gli stessi pivot di (A|\mathbf{b})''.

Il rango di una matrice è uguale al numero di pivot della corrispondente matrice ridotta, per cui i ranghi delle due matrici sono uguali a 3 qualsiasi sia il valore assunto dal parametro reale a.

Ciò permette di concludere che il sistema è compatibile per ogni a \in \mathbb{R}, per cui \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4 costituiscono un sistema di generatori di \mathbb{R}^3 per ogni a \in \mathbb{R}.

Ecco fatto!
Ringraziano: Pi Greco, fuffy, Eudamonia
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Os