Valori di un parametro per cui 2 polinomi formano un sistema di generatori

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Valori di un parametro per cui 2 polinomi formano un sistema di generatori #30451

avt
mariagraziac
Cerchio
Mi sono imbattuto in un esercizio che chiede di determinare i valori di un parametro per cui due polinomi costituiscono un sistema di generatori per lo spazio dei polinomi di grado 1. Come si risolve?

Calcolare i valori reali del parametro k per cui i polinomi

p_1(x)=k-x \ \ \ ; \ \ \ p_2(x)=2-k^2+kx

generano lo spazio dei polinomi di grado al più 1 a coefficienti reali.
 
 

Valori di un parametro per cui 2 polinomi formano un sistema di generatori #30470

avt
Omega
Amministratore
Lo spazio dei polinomi a coefficienti reali e di grado al più 1 è \mathbb{R}_1[x], i cui elementi sono i polinomi della forma

q(x)=a+bx, \mbox{ con } a,b \in \mathbb{R}

Ciò premesso,

p_1(x)=k-x \ \ \ ; \ \ \ p_2(x)=2-k^2+kx

individuano un sistema di generatori di \mathbb{R}_1[x] per quei valori di k \in \mathbb{R} per cui ogni polinomio di \mathbb{R}_1[x] si può scrivere come loro combinazione lineare.

Sia, allora, q(x)=a+bx un generico elemento di \mathbb{R}_1[x] e imponiamo che sia

\lambda_1 p_1(x) + \lambda_2 p_2(x) = q(x)

ossia

\\ \lambda_1(k-x)+\lambda_2(2-k^2+kx) = a+bx \\ \\ k\lambda_1+(2-k^2)\lambda_2 +(-\lambda_1+k\lambda_2)x = a+bx

Il principio di identità di polinomi afferma che due polinomi con lo stesso grado sono uguali se coincidono i coefficienti dei termini con lo stesso grado, per cui dev'essere

\begin{cases}k\lambda_1+(2-k^2)\lambda_2 = a \\ -\lambda_1+k\lambda_2=b\end{cases}

Abbiamo così ottenuto un sistema lineare parametrico di due equazioni nelle incognite \lambda_1, \lambda_2.

I valori di k per cui il sistema ammette soluzione per ogni a,b \in \mathbb{R}, sono i valori di k per cui l'insieme \{p_1(x), p_2(x)\} è un sistema di generatori di \mathbb{R}_1[x].

Le matrici associate al sistema sono:

A=\begin{pmatrix}k&2-k^2 \\ -1 & k\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ (A|\mathbf{b})=\left(\begin{matrix}k&2-k^2 \\ -1 & k\end{matrix}\right|\left\begin{matrix}a \\ b\end{matrix}\right)

Calcoliamo il determinante di A

\mbox{det}(A)=\mbox{det}\begin{pmatrix}k&2-k^2 \\ -1 & k\end{pmatrix}=k^2+2-k^2 = 2

di conseguenza, per il criterio dei minori, il rango di A è 2 per ogni k \in \mathbb{R}.

Osserviamo poi che A è una sottomatrice 2x2 di (A|\mathbf{b}) di rango massimo, per cui anche il rango della matrice completa è 2 per ogni k \in \mathbb{R} e per ogni a,b \in \mathbb{R}.

Per il teorema di Rouché Capelli il sistema ammette un'unica soluzione per ogni valore assunto da k,a,b, per cui \{p_1(x), p_2(x)\} è un sistema di generatori di \mathbb{R}_1[x] per ogni k \in \mathbb{R}.

È tutto!
Ringraziano: xavier310
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Os