Calcolo del prodotto vettoriale

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Calcolo del prodotto vettoriale #3001

avt
povi
Frattale
Ho difficoltà nel calcolo del prodotto vettoriale tra vettori. Credo sia una cosa abbastanza banale, ma non riesco proprio a venirne fuori.

Calcolare il prodotto vettoriale tra i vettori \vec{u}=(-3,0,-1), \ \vec{v}=(-1,1,2).

Risultato: \vec{u} \times \vec{v}=(1,-5,-3)
 
 

Re: Calcolo del prodotto vettoriale #3007

avt
Omega
Amministratore
Indichiamo con \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} i tre versori degli assi coordinati di un sistema di riferimento ortonormale in \mathbb{R}^3, così da poter ottenere una rappresentazione in coordinate di qualsiasi vettore.

Per intenderci, fissare un riferimento ortonormale di assi cartesiani di \mathbb{R}^3 permette di esprimere un vettore dato per componenti

\vec{w}=(w_1,w_2,w_3)

come

\vec{w}=w_1\vec{i}+w_2\vec{j}+w_3\vec{k}

e viceversa.

Detto ciò, il prodotto vettoriale tra due vettori di \mathbb{R}^3

\\ \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) \\ \\ \vec{v}=(v_1,v_2,v_3)

si calcola come determinante di un'opportuna matrice 3x3, avente:

- nella prima riga i versori \vec{i}, \vec{j}, \vec{k};

- nella seconda riga le componenti del vettore \vec{u}=(u_1,u_2,u_3);

- nella terza riga le componenti del vettore \vec{v}=(v_1,v_2,v_3).

In formule:

\vec{u} \times \vec{v} = \mbox{det}\begin{pmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix}

Il nostro compito è quello di svolgere il prodotto vettoriale tra

\\ \vec{u}=(u_1,u_2,u_3)=(-3,0,-1) \\ \\ \vec{v}=(v_1,v_2,v_3)=(-1,1,-2)

dunque

\vec{u} \times \vec{v} = \mbox{det}\begin{pmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix} = \mbox{det}\begin{pmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3&0&-1 \\ -1&1&-2\end{pmatrix}

Per il calcolo del determinante ricorriamo alla regola di Sarrus.

Riscriviamo la matrice accostando la matrice stessa alla sua destra

\begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} & \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3&0&-1&-3&0&-1 \\ -1&1&-2&-1&1&-2\end{matrix}

Consideriamo le prime tre diagonali principali complete, calcoliamo il prodotto degli elementi situati su ciascuna diagonale e sommiamo i prodotti

\\ (\vec{i})(0)(-2) + (\vec{j})(-1)(-1) + (\vec{k})(-3)(1) = \\ \\ = \vec{j}-3\vec{k}

Consideriamo le antidiagonali principali complete che partono dagli ultimi tre elementi della prima riga e ripetiamo la stessa operazione

\\ (\vec{k})(0)(-1) + (\vec{j})(-3)(-2) + (\vec{i})(-1)(1) = \\ \\ = 6\vec{j}-\vec{i}

Il determinante della matrice iniziale, e quindi il prodotto vettoriale tra \vec{u} \mbox{ e } \vec{v}, è dato dalla differenza tra il primo e il secondo risultato così ottenuti, ossia

\\ \vec{u} \times \vec{v} = \mbox{det}\begin{pmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3&0&-1 \\ -1&1&-2\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = \vec{j}-3\vec{k} - (6\vec{j}-\vec{i}) = \\ \\ = \vec{j}-3\vec{k} - 6\vec{j}+\vec{i} = \\ \\ = \vec{i}-5\vec{j}-3\vec{k}

Scrivendo il vettore in forma di componenti ritroviamo il risultato fornito dal testo dell'esercizio

\vec{u} \times \vec{v} = (1,-5,-3)

In teoria abbiamo concluso, ma è bene precisare la scelta di identificare il prodotto vettoriale come risultato del calcolo di un determinante è un abuso di linguaggio necessario per fornire un metodo di calcolo che non richiede di imparare formule a memoria.

Basta infatti osservare che quella che abbiamo chiamato matrice in realtà non lo è, tant'è vero che i suoi elementi non sono tutti dello stesso tipo: la prima riga contiene vettori, le altre due numeri reali. Se ciò non bastasse, il determinante di una matrice restituisce, per definizione, uno scalare, mentre qui otteniamo un vettore.
Ringraziano: povi, frank094, Ifrit, WhiteC, Marcoxt92, CarFaby
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Os