Equazione piano ortogonale alla retta e passante per un punto, esercizio

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Equazione piano ortogonale alla retta e passante per un punto, esercizio #29920

avt
povi
Frattale
Ho qualche perplessità nello svolgimento di un esercizio sul piano perpendicolare a una retta espressa in forma cartesiana. Non so esattamente come muovermi, potreste aiutarmi?

Scrivere l'equazione del piano π ortogonale alla retta r di equazioni cartesiane

r: x+2z-4 = 0 ; y+z-4 = 0

e passante per P(-1,0,3).

Grazie.
 
 

Equazione piano ortogonale alla retta e passante per un punto, esercizio #29946

avt
Omega
Amministratore
Per trovare il piano perpendicolare alla retta

r: x+2z-4 = 0 ; y+z-4 = 0

e passante per il punto P(-1,0,3) ci atterremo ai seguenti passaggi:

- determiniamo un vettore v_(r) che individua la direzione della retta;

- eleggiamo v_(r) a vettore dei coefficienti direttori del piano, poniamo cioè n_(π) = v_(r);

- scriviamo l'equazione cartesiana del piano con i coefficienti direttori. L'unico parametro libero dell'equazione sarà il termine noto.

- Imponiamo il passaggio del piano per il punto P(-1,0,3), ricavando così il valore da dare al termine noto.

Partiamo quindi dalle equazioni cartesiane della retta r, dalle quali deduciamo che è intersezione tra il piano

π_(1): x+2z-4 = 0

a cui associamo il vettore normale n_1 = (1,0,2), composto dai coefficienti che moltiplicano x,y,z, e il piano

π_2: y+z-4

a cui associamo il vettore normale n_2 = (0,1,1), composto dai coefficienti che moltiplicano le incognite.

In accordo con la definizione di prodotto vettoriale, n_(1)×n_2 è un vettore perpendicolare a n_1 e a n_(2), per cui ha la medesima direzione di r e, in quanto tale può assumere il ruolo di vettore direttore v_(r).

Calcoliamo n_(1)×n_(2) rivedendolo come determinante della matrice avente per prima riga i vettori della base canonica di R^3 ,i,j,k, per seconda e terza gli elementi di n_1 e quelli di n_2 rispettivamente:

v_(r) = n_1×n_2 = det[i j k ; 1 0 2 ; 0 1 1] =

Sviluppiamo con la regola di Laplace sulla prima riga

 = i ,det[0 2 ; 1 1]-j ,det[1 2 ; 0 1]+k ,det[1 0 ; 0 1] = [0-2] ,i-[1-0] ,j+[1-0] ,k = (-2,-1,1)

Abbiamo ottenuto il vettore

v_(r) = (l,m,n) = (-2,-1,1)

che individua la direzione della retta: se lo interpretiamo come normale al piano incognito π, possiamo già iniziare a comporre l'equazione di π.

π: l x+m y+nz+d = 0 → -2x-y+z+d = 0

Per descrivere in maniera univoca π imponiamo il suo passaggio per il punto P(-1, 0,3): basta richiedere che P soddisfi l'equazione di π!

P∈π ⇔ -2(-1)-0+3+d = 0

da cui d = -5. Possiamo concludere che l'equazione del piano perpendicolare a r e passante per P è:

π: -2x-y+z+d = 0 → -2x-y+z-5 = 0

o equivalentemente

π: 2x+y-z+5 = 0

Abbiamo finito!
Ringraziano: Pi Greco
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Os