Equazione piano ortogonale alla retta e passante per un punto, esercizio

Ho qualche perplessità nello svolgimento di un esercizio sul piano perpendicolare a una retta espressa in forma cartesiana. Non so esattamente come muovermi, potreste aiutarmi?

Scrivere l'equazione del piano ortogonale alla retta di equazioni cartesiane



e passante per

Grazie.

Per trovare il piano perpendicolare alla retta



e passante per il punto ci atterremo ai seguenti passaggi:

- determiniamo un vettore che individua la direzione della retta;

- eleggiamo a vettore dei coefficienti direttori del piano, poniamo cioè ;

- scriviamo l'equazione cartesiana del piano con i coefficienti direttori. L'unico parametro libero dell'equazione sarà il termine noto.

- Imponiamo il passaggio del piano per il punto , ricavando così il valore da dare al termine noto.

Partiamo quindi dalle equazioni cartesiane della retta , dalle quali deduciamo che è intersezione tra il piano



a cui associamo il vettore normale , composto dai coefficienti che moltiplicano , e il piano



a cui associamo il vettore normale , composto dai coefficienti che moltiplicano le incognite.

In accordo con la definizione di prodotto vettoriale, è un vettore perpendicolare a e a , per cui ha la medesima direzione di e, in quanto tale può assumere il ruolo di vettore direttore .

Calcoliamo rivedendolo come determinante della matrice avente per prima riga i vettori della base canonica di , per seconda e terza gli elementi di e quelli di rispettivamente:



Sviluppiamo con la regola di Laplace sulla prima riga



Abbiamo ottenuto il vettore



che individua la direzione della retta: se lo interpretiamo come normale al piano incognito , possiamo già iniziare a comporre l'equazione di .



Per descrivere in maniera univoca imponiamo il suo passaggio per il punto : basta richiedere che soddisfi l'equazione di !



da cui Possiamo concludere che l'equazione del piano perpendicolare a e passante per è:



o equivalentemente



Abbiamo finito!