Il determinante di una proiezione è nullo, dimostrazione

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Il determinante di una proiezione è nullo, dimostrazione #2990

avt
xavier310
Sfera
Ciao ragazzi, ho un problema con un risultato inerente le proiezioni (intese come applicazioni lineari).

Nello specifico ho problemi con la dimostrazione del fatto che il determinante di una proiezione è nullo, e avrei bisogno di aiuto con questa dimostrazione:

sia P:V\to V una proiezione P \ne id_V. Dimostra che det(P)=0.

Vi ringrazio!
 
 

Il determinante di una proiezione è nullo, dimostrazione #2996

avt
Omega
Amministratore
Per vedere che una proiezione P che non sia l'identità ha determinante nullo

det(P)=0

è sufficiente osservare che per definizione deve valere

P^n=P\mbox{ }\forall n\in\mathbb{N}

dunque, grazie al teorema di Binet, se ne deduce che

det(P^n)=[det(P)]^n=det(P)\mbox{ }\forall n\in\mathbb{N}

da cui deduciamo che det(P)=0 oppure det(P)=1. Si può dimostrare (eventualmente lo facciamo) che una proezione ha come unici autovalori possibili 0\mbox{, }1. Osservando poi che il determinante di una matrice è dato dal prodotto degli autovalori della matrice stessa

det(P)=\prod_{i=1}^{n}{\lambda_i}

e osservando che se P\neq Id allora \exists i\in{1,...,n} tale che \lambda_i\neq +1, ne consegue che \lambda_i=0 e quindi

det(P)=0
Ringraziano: frank094, Ifrit, xavier310

Il determinante di una proiezione è nullo, dimostrazione #3002

avt
xavier310
Sfera
Potresti perfavore spiegarmi la definizione

P^n=P\mbox{ }\forall n\in\mathbb{N}?

a cosa si riferisce?

E inoltre cosa sono gli autovalori? emt

Il determinante di una proiezione è nullo, dimostrazione #3033

avt
Omega
Amministratore
Se non hai ancora visto la parte relativa agli autovalori, la faccenda si complica (o si semplifica, dipende emt ). Ad ogni modo, dato che ci sono diverse definizioni equivalenti di proiezione, quale ti hanno dato? Così almeno vediamo come impostare il discorso.
Ringraziano: xavier310

Il determinante di una proiezione è nullo, dimostrazione #3049

avt
xavier310
Sfera
Il problema è che nelle lezioni ancora non ho riscontrato ne la definizione di proiezione ne il termine autovalori :(

Il determinante di una proiezione è nullo, dimostrazione #3075

avt
Omega
Amministratore
Allora come puoi dimostrare il risultato che ti proponi di dimostrare? emt
Ringraziano: xavier310

Il determinante di una proiezione è nullo, dimostrazione #3576

avt
xavier310
Sfera
Allora devo rinunciare perchè autovalori e autovettori non li ha spiegati il prof, così come la definizione di proiezione. Il fatto che ho trovato l'esercizio nella sezione dei determinanti e quindi pensavo che si potesse risolvere più facilmente:P
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