Spazi vettoriali di matrici

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Spazi vettoriali di matrici #2922

avt
xavier310
Sfera
Come si definisce lo spazio vettoriale delle matrici? Vorrei capire com'è fatto uno spazio di matrici, quali sono i suoi elementi e vedere qualche esempio. Potreste dirmi qual è la base canonica e come si determina la dimensione? All'atto pratico, come si lavora nello spazio di matrici? Ad esempio, come si studia l'indipendenza lineare tra matrici?
 
 

Spazi vettoriali di matrici #2929

avt
Omega
Amministratore
Per definire uno spazio vettoriale di matrici consideriamo l'insieme di tutte le matrici della stessa dimensione a elementi in un generico campo \mathbb{K}, spesso identificato con il campo \mathbb{R} dei numeri reali o il campo \mathbb{C} dei numeri complessi.

Denotiamo tale insieme con \mathbb{K}^{m,n} dove m \mbox{ e } n sono due numeri naturali non nulli che indicano, rispettivamente, il numero di righe e il numero di colonne delle matrici dell'insieme.

Consideriamo poi le operazioni di somma tra matrici e di prodotto di una matrice per uno scalare, che indichiamo con + e con \cdot.

(\mathbb{K}^{m,n}, \ +, \ \cdot) è uno spazio vettoriale sul campo \mathbb{K}, prende il nome di spazio di matrici e si indica solitamente con Mat(m,n,\mathbb{K}).

I suoi elementi sono tutte le (infinite) matrici a elementi nel campo \mathbb{K} e aventi m righe ed n colonne.

Esempi

1) Mat(2,2,\mathbb{R}) è lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine 2 a termini reali. Alcuni suoi elementi sono

A=\begin{pmatrix}1&2\\3&-4\end{pmatrix}, \ \ \ B=\begin{pmatrix}0&7\\-1&5\end{pmatrix}, \ \ \ \mbox{Id}_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, \ \ \ O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}

2) Mat(3,2,\mathbb{C}) è lo spazio di matrici formato dalle matrici rettangolari con 3 righe e 2 colonne a elementi complessi.

A=\begin{pmatrix}5&6\\-1&2\imath+3 \\ 1+\imath&0\end{pmatrix}, \ \ B=\begin{pmatrix}0&0\\1&1\\\imath&2\imath\end{pmatrix}, \ \ \ C=\begin{pmatrix}4&-5\imath\\-5&8\\7-2\imath&0\end{pmatrix}

sono alcune delle matrici dello spazio Mat(3,2,\mathbb{C}).

***

I concetti di indipendenza lineare, sistema di generatori e base sono sempre gli stessi a cui siamo abituati; ricordiamo infatti che con la parola vettore si intende un qualsiasi elemento di uno spazio vettoriale, e quindi nello spazio delle matrici un vettore è una matrice.

Ad esempio, volendo studiare l'indipendenza lineare delle seguenti matrici dello spazio vettoriale Mat(2,2,\mathbb{R})

A=\begin{pmatrix}1&1 \\ 3&2\end{pmatrix}, \ \ \ B=\begin{pmatrix}1&0 \\ 0&-1\end{pmatrix}, \ \ \ C=\begin{pmatrix}0&-1 \\ 1&0\end{pmatrix}

è sufficiente attenersi alla definizione e verificare se l'unica terna di scalari (\alpha, \beta, \gamma) che annulla la combinazione lineare

\alpha A + \beta B + \gamma C

è la terna (\alpha, \beta, \gamma) = (0,0,0). In caso affermativo le matrici sono linearmente indipendenti.

Imponiamo allora che sia

\alpha A + \beta B + \gamma C=O_2

dove O_2 è la matrice quadrata nulla di ordine 2.

\alpha A + \beta B + \gamma C=O_2 \\ \\ \iff \alpha \begin{pmatrix}1&1 \\ 3&2\end{pmatrix}+\beta \begin{pmatrix}1&0 \\ 0&-1\end{pmatrix}+\gamma \begin{pmatrix}0&-1 \\ 1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0 \\ 0&0\end{pmatrix}

Svolgendo le operazioni a primo membro si ricade nell'uguaglianza

\begin{pmatrix} \alpha+\beta & \alpha-\gamma \\ 3\alpha+\gamma & 2\alpha-\beta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0 \\ 0&0\end{pmatrix}

Due matrici dello stesso ordine sono uguali se sono uguali gli elementi che occupano la stessa posizione, dunque dev'essere

\begin{cases}\alpha+\beta=0 \\ \alpha-\gamma=0 \\ 3\alpha+\gamma=0 \\ 2\alpha-\beta=0\end{cases}

Ci siamo così ricondotti a un sistema lineare omogeneo nelle incognite \alpha, \ \beta, \ \gamma.

La matrice dei coefficienti a esso associata

\begin{pmatrix}1&1&0 \\ 1&0&-1 \\ 3&0&1 \\ 2&-1&0 \end{pmatrix}

ha rango massimo, dunque l'unica soluzione del sistema è quella banale.

Possiamo così concludere che le matrici sono linearmente indipendenti.

Dimensione e base canonica dello spazio delle matrici

Se \mathbb{K}=\mathbb{R} si definisce base canonica dello spazio di matrici Mat(m,n,\mathbb{R}) l'insieme formato dalle m\times n matrici

E_{ij}=(e_{ij}) \in Mat(m,n,\mathbb{R})

tali da avere tutti gli elementi nulli ad accezione dell'elemento e_{ij}, che è uguale a 1.

Per intenderci, consideriamo lo spazio vettoriale Mat(3,2,\mathbb{R}), i cui elementi sono le matrici rettangolari con 3 righe e 2 colonne. La sua base canonica è formata dalle seguenti 3 \times 2 = 6 matrici

\\ E_{11}=\begin{pmatrix}1&0 \\ 0&0 \\ 0&0\end{pmatrix} \ \ \ E_{12}=\begin{pmatrix}0&1 \\ 0&0 \\ 0&0\end{pmatrix} \ \ \ E_{21}=\begin{pmatrix}0&0 \\ 1&0 \\ 0&0\end{pmatrix} \\ \\ \\ E_{22}=\begin{pmatrix}0&0 \\ 0&1 \\ 0&0\end{pmatrix} \ \ \ E_{31}=\begin{pmatrix}0&0 \\ 0&0 \\ 1&0\end{pmatrix} \ \ \ E_{32}=\begin{pmatrix}0&0 \\ 0&0 \\ 0&1\end{pmatrix}

Ricordando che la dimensione di uno spazio vettoriale è la cardinalità degli elementi di una sua qualsiasi base, possiamo affermare che la dimensione dello spazio Mat(m,n,\mathbb{R}) è m \times n.

***

Dopo aver introdotto la base canonica, a ogni matrice A \in Mat(m,n,\mathbb{R}) possiamo associare il vettore delle coordinate rispetto a tale base, che è un vettore di \mathbb{R}^{m \times n}.

Ad esempio, se

A=\begin{pmatrix}1&2 \\ -1&3 \\ 4&7\end{pmatrix} \in Mat(3,2,\mathbb{R})

le sue coordinate rispetto alla base canonica sono le componenti del vettore

\mathbf{v}=(1,2,-1,3,4,7)\in \mathbb{R}^{3 \times 2}=\mathbb{R}^6

Se avete già studiato le applicazioni lineari, tale associazione equivale a considerare l'applicazione lineare

\\ f : Mat(m,n,\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^{m \times n} \\ \\ \\ A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \mapsto \\ \\ \\ \mapsto \mathbf{v}=(a_{11}, a_{12}, ..., a_{1n}, a_{21}, a_{22}, ..., a_{2n}, ..., ..., ..., a_{m1}, a_{m2}, ..., a_{mn})

L'applicazione così definita è un isomorfismo, conosciuto col nome di isomorfismo coordinato.

Servendosi di questo piccolo stratagemma è possibile passare dallo spazio delle matrici Mat(m,n,\mathbb{R}) allo spazio \mathbb{R}^{m\times n}, dov'è molto più semplice esaudire le richieste dei vari esercizi.

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Ringraziano: frank094, xavier310
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