Proprietà del determinante e matrici simili (conseguenza del Teorema di Cramer)

Vorrei porvi una problema su una proprietà del determinante che riguarda le matrici simili - la proprietà è una conseguenza del teorema di Binet. Potreste spiegarmi cos'è ? Abbiamo trattato anche le classi di similitudine, però non ho capito granché. Potreste chiarirmi questi concetti?

Dimostrare che se e allora:



Grazie.

Prima di occuparci del problema, forniamo una definizione.

è il gruppo generale lineare, ossia l'insieme composto dalle matrici invertibili di ordine e a coefficienti reali. In simboli



Nel precedente link abbiamo dimostrato che questo insieme è un gruppo rispetto all'operazione di moltiplicazione tra matrici.

L'esercizio ci chiede di dimostrare un vero e proprio teorema, il quale garantisce che il determinante è un invariante per similitudine.

Più esplicitamente, il teorema sancisce che due matrici simili hanno lo stesso determinante.


Teorema sull'invarianza del determinante per similitudine

Se e si ha che


Dimostrazione

Per ipotesi sappiamo che pertanto è una matrice invertibile e il suo determinante è diverso da 0,



Per il teorema di Binet, il determinante del prodotto di matrici coincide con il prodotto dei determinanti, perciò sussiste l'uguaglianza:



Dal teorema di Binet segue inoltre che il determinante dell'inversa di una matrice invertibile è uguale con il reciproco del determinante della matrice data



Se procediamo con le dovute sostituzioni, ricaviamo la seguente uguaglianza:



Semplifichiamo e scriviamo quella che è a tutti gli effetti la tesi



Come volevasi dimostrare.


Approfondimento sulle classi di similitudine matriciali


Un piccolo approfondimento sulle classi di similitudine


Ricordiamo che due matrici si dicono simili se esiste una matrice tale che:



È possibile dimostrare abbastanza facilmente che

invertibile tale che

è una relazione di equivalenza in .

La relazione di equivalenza induce una partizione dell'insieme in classi di equivalenza, dette anche classi di similitudine.

Ad esempio la classe di similitudine di è



ed è formata da tutte le matrici simili con .

Alla luce del teorema che abbiamo dimostrato, possiamo asserire inoltre che se due matrici appartengono alla stessa classe di similitudine, allora hanno lo stesso determinante.