Proprietà del determinante e matrici simili (conseguenza del Teorema di Cramer)
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![]() xavier310 Sfera | Vorrei porvi una problema su una proprietà del determinante che riguarda le matrici simili - la proprietà è una conseguenza del teorema di Binet. Potreste spiegarmi cos'è Dimostrare che se ![]() Grazie. |
#2888
![]() Ifrit Amministratore | Prima di occuparci del problema, forniamo una definizione. ![]() Nel precedente link abbiamo dimostrato che questo insieme è un gruppo rispetto all'operazione di moltiplicazione tra matrici. L'esercizio ci chiede di dimostrare un vero e proprio teorema, il quale garantisce che il determinante è un invariante per similitudine. Più esplicitamente, il teorema sancisce che due matrici simili hanno lo stesso determinante. Teorema sull'invarianza del determinante per similitudine Se ![]() Dimostrazione Per ipotesi sappiamo che Per il teorema di Binet, il determinante del prodotto di matrici coincide con il prodotto dei determinanti, perciò sussiste l'uguaglianza: ![]() Dal teorema di Binet segue inoltre che il determinante dell'inversa di una matrice invertibile è uguale con il reciproco del determinante della matrice data ![]() Se procediamo con le dovute sostituzioni, ricaviamo la seguente uguaglianza: ![]() Semplifichiamo ![]() Come volevasi dimostrare. Approfondimento sulle classi di similitudine matriciali Un piccolo approfondimento sulle classi di similitudine Ricordiamo che due matrici È possibile dimostrare abbastanza facilmente che è una relazione di equivalenza in La relazione di equivalenza induce una partizione dell'insieme Ad esempio la classe di similitudine di ![]() ed è formata da tutte le matrici Alla luce del teorema che abbiamo dimostrato, possiamo asserire inoltre che se due matrici appartengono alla stessa classe di similitudine, allora hanno lo stesso determinante. |
Ringraziano: Omega, frank094, xavier310 |
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