Prima di occuparci del problema, forniamo una definizione.

è il
gruppo generale lineare, ossia l'insieme composto dalle
matrici invertibili di ordine

e a coefficienti reali. In simboli
Nel precedente link abbiamo dimostrato che questo insieme è un
gruppo rispetto all'operazione di
moltiplicazione tra matrici.
L'esercizio ci chiede di dimostrare un vero e proprio teorema, il quale garantisce che il
determinante è un invariante per similitudine.
Più esplicitamente, il teorema sancisce che
due matrici simili hanno lo stesso determinante.
Teorema sull'invarianza del determinante per similitudine Se

e

si ha che
Dimostrazione Per ipotesi sappiamo che

pertanto è una matrice invertibile e il suo
determinante è diverso da 0,
Per il
teorema di Binet, il determinante del prodotto di matrici coincide con il prodotto dei determinanti, perciò sussiste l'uguaglianza:
Dal teorema di Binet segue inoltre che il determinante dell'inversa di una matrice invertibile è uguale con il
reciproco del determinante della matrice data
Se procediamo con le dovute sostituzioni, ricaviamo la seguente uguaglianza:
Semplifichiamo

e scriviamo quella che è a tutti gli effetti la tesi
Come volevasi dimostrare.
Approfondimento sulle classi di similitudine matriciali Un piccolo approfondimento sulle
classi di similitudine Ricordiamo che due matrici

si dicono simili se esiste una matrice

tale che:
È possibile dimostrare abbastanza facilmente che

invertibile tale che
è una relazione di equivalenza in

.
La relazione di equivalenza induce una
partizione dell'insieme 
in classi di equivalenza, dette anche classi di similitudine.
Ad esempio la classe di similitudine di

è
ed è formata da tutte le matrici

simili con

.
Alla luce del teorema che abbiamo dimostrato, possiamo asserire inoltre che se due matrici appartengono alla stessa classe di similitudine, allora hanno lo stesso determinante.