Lunghezza dell'arco di una curva, esercizio

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Lunghezza dell'arco di una curva, esercizio #27731

avt
ingrid
Punto
Buondì! Ho un dubbio su un esercizio riguardo alla lunghezza dell'arco di una curva.

Ad esempio, se ho la curva parametrica

y(t)=(1+\cos(t)+2\sin(t),2-2\cos(t)-\sin(t),3+2\cos(t)-2\sin(t))

con 0<t<2\pi, come si calcola la lunghezza dell'arco di curva compreso tra i punti A(2,0,5)\mbox{ e }(0,4,1)\ ?

So qual è la formula ma dovendo calcolare L(y,a,b) non so come trovare a\mbox{ e }b.

Grazie!
 
 

Lunghezza dell'arco di una curva, esercizio #27740

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao ingrid!

Per determinare gli estremi di integrazione dobbiamo determinare t_1, t_2\in [0,2\pi] di modo che

\gamma(t_1)=A\ \ \ \mbox{e}\ \ \ \gamma(t_2)=B

Dobbiamo quindi risolvere il sistema:

\begin{cases}1+\cos(t)+ 2\sin(t)=2\\ 2-2\cos(t)-\sin(t)=0\\ 3+2\cos(t)-2\sin(t)=5\end{cases}

Poniamo:

X= \sin(t), Y=\cos(t)

Il precedente sistema si scrive come:

\begin{cases}1+Y+ 2X=2\\ 2-2Y-X=0\\ 3+2Y-2X=5\end{cases}

Da cui otteniamo:

X=0, Y=1

quindi:

\begin{cases}\sin(t)=0\\ \cos(t)=1\end{cases}\iff t=0

Abbiamo determinato t_1.


Facciamo la stessa cosa per \gamma(t_2)=B.

Dobbiamo quindi risolvere il sistema:

\begin{cases}1+\cos(t)+ 2\sin(t)=0\\ 2-2\cos(t)-\sin(t)=4\\ 3+2\cos(t)-2\sin(t)=1\end{cases}

Come prima poniamo:

X= \sin(t), Y=\cos(t)

Il precedente sistema si scrive come:

\begin{cases}1+Y+ 2X=0\\ 2-2Y-X=4\\ 3+2Y-2X=1\end{cases}

Da cui otteniamo:

X=0, Y=-1

quindi:

\begin{cases}\sin(t)=0\\ \cos(t)=-1\end{cases}\iff t=\pi

Abbiamo determinato t_2.


A questo punto calcoliamo la derivata del vettore \gamma:

\gamma'(t)=(2\cos(t)-\sin(t), -\cos(t)+2\sin(t), -2\cos(t)-2\sin(t))

la cui norma è:

\\ |\gamma'(t)|=\sqrt{(2\cos(t)-\sin(t))^2+(-\cos(t)+2\sin(t))^2+(-2\cos(t)-2\sin(t))^2}=\\ \\ =[\mbox{passaggi algebrici}]= \sqrt{9}=3

(bisogna aver un po' di pazienza e utilizzare la relazione fondamentale della trigonometria - vedi formule trigonometriche)

Per calcolare la lunghezza della curva quindi dobbiamo risolvere l'integrale:

L_{A,B}=\int_{0}^{\pi}|\gamma'(t)|dt= \int_{0}^{\pi}3dt= 3\pi
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Lunghezza dell'arco di una curva, esercizio #27759

avt
ingrid
Punto
Grazie di cuore!
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Os