Dimostrazione del teorema di Cramer

Mi servirebbe l'enunciato e, soprattutto, la dimostrazione del teorema di Cramer. Vi chiedo di essere quanto più precisi possibile e di spiegarmi tutti i passaggi.

La dimostrazione del teorema di Cramer riportata sul mio libro è davvero poco chiara in quanto salta molti passaggi.

Il teorema di Cramer fornisce un metodo di risoluzione per i sistemi lineari in cui la matrice dei coefficienti associata al sistema è una matrice quadrata con determinante non nullo, anche se con un piccolo stratagemma può essere usato per risolvere i sistemi rettangolari.

Enunciato del teorema di Cramer

Sia un sistema lineare in cui è una matrice quadrata di ordine con determinante non nullo. Allora il sistema ammette un'unica soluzione data da


dove è la matrice ottenuta da sostituendo l'-esima colonna con la colonna dei termini noti, cioè


Nella precedente scrittura sono le colonne di .

Dimostrazione del teorema di Cramer

Anzitutto osserviamo che se è una matrice quadrata di ordine con determinante non nullo, allora l'esistenza e l'unicità della soluzione del sistema sono garantite dal teorema di Rouché Capelli.

Sia allora



l'unica soluzione del sistema, ossia supponiamo che .

Dobbiamo dimostrare che per ogni



Detti i vettori della base canonica di , sia la rappresentazione per colonne della matrice identità di ordine .

Per ogni indichiamo con la matrice che si ottiene dalla matrice identità sostituendo l'-esima colonna col vettore , ossia



Allora si ha che



Infatti, sapendo che , svolgendo il prodotto riga per colonna si ottiene



Il prodotto tra e un qualsiasi vettore della base canonica restituisce la -esima colonna di , dunque



Applicando il determinante a entrambi i membri di si ricade nell'uguaglianza



Per il teorema di Binet



e quindi



Per com'è stata costruita la matrice , il suo determinante è uguale a



dunque per ogni



Dividendo ambo i membri per il determinante di (che per ipotesi è diverso da zero) si ottiene



e il teorema di Cramer può dirsi dimostrato.


Per concludere vi consigliamo la lettura delle seguenti lezioni:

- metodo di Cramer, dove abbiamo spiegato come, all'atto pratico, si usa il teorema di Cramer nella risoluzione dei sistemi lineari;

- metodi di risoluzione dei sistemi lineari, in cui abbiamo passato in rassegna i vari metodi di risoluzione, compresa l'applicazione del metodo di Cramer ai sistemi rettangolari.