Dimostrazione Sviluppo di Laplace

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Dimostrazione Sviluppo di Laplace #2758

avt
xavier310
Sfera
Buongiorno ragazzi; sono stato un po assente ultimamente ma ritorno sul forum perchè ho urgente bisogno di voi.

Avrei bisogno di capire la dimostrazione dello sviluppo di Laplace che da il mio libro (devo riuscire a capire solo l'inizio della dimostrazione)

DIMOSTRAZIONE

Sia A_i=a_i_1e^T_i+...+a_i_ne^T_n la riga i-esima. Allora

det(A_1,...,A_i,...,A_n) = a_i_1 det(A_1,...,e^T_1,...,A_n)+...+a_i_n det(A_1,...,e^T_n,...,A_n)=a_i_1 del(B_1)+...+a_i_n det(B_n),

dove

B_j=\begin{vmatrix} A_1 \\ .\\A_i_-_1\\e^T_j\\A_i_+_1\\.\\A_n  \end{vmatrix}

Potreste spiegarmi questa prima parte della dimostrazione? Cioè il problemaa è che faccio un po di confusione con la terminologia :(
 
 

Re: Dimostrazione Sviluppo di Laplace #2817

avt
Omega
Amministratore
Che ne dici di vedere l'intera dimostrazione per filo e per segno? Almeno poi chi finisce qui cercando "sviluppo di Laplace" non rimane deluso sul più bello emt
Ringraziano: xavier310

Re: Dimostrazione Sviluppo di Laplace #2819

avt
xavier310
Sfera
DIMOSTRAZIONE

Sia A_i=a_i_1e^T_i+...+a_i_ne^T_n la riga i-esima. Allora

det(A)=det(A_1,...,A_i,...,A_n) = a_i_1 det(A_1,...,e^T_1,...,A_n)+...+a_i_n det(A_1,...,e^T_n,...,A_n)=a_i_1 del(B_1)+...+a_i_n det(B_n),

dove

B_j=\begin{vmatrix} A_1 \\ .\\A_i_-_1\\e^T_j\\A_i_+_1\\.\\A_n  \end{vmatrix}

Ora, se nella matrice B_j sottraiamo opportuni multipli
dell'i-esima riga (che è e^T_j) a tutte le altre righe, oteniamo la matrice C_j di uguale determinante e la cui j-esima colonna è e_i

Calcolando ora det(C_j) con lo sviluppo di Laplace lungo la colonna j-esima, soo un addendo è diverso da zero, per cui

det(B_j)=det(C_j)=(-1)^{i+j}det(A_i_j)

Re: Dimostrazione Sviluppo di Laplace #2925

avt
xavier310
Sfera
Questa è la dimostrazione che viene data sul mio libro emt

Re: Dimostrazione Sviluppo di Laplace #2928

avt
frank094
Sfera
Ciao Xavier, semplicemente lo Sviluppo di Laplace serve per calcolare il determinante di una matrice seguendo uno sviluppo per colonne.

La dimostrazione inizia con il considerare la riga i-esima e tutti gli elementi che la compongono.
Ovviamente a_{i1} ci dice che stiamo considerando il primo elemento della riga i-esima, mentre e_i^T è il famoso vettore che si trova nella base canonica ma trasposto.

e_i^T = |0, 0, 0, 0, ... 1, 0, ..., 0|

Quindi la riga si può scrivere senza problemi come combinazione tra l'elemento e il vettore e_i^T adatto alla posizione ( una bella comodità! ).

Dopo si passa a scrivere il determinante della matrice A come quello della matrice composta da tutte le righe di A ( quindi non cambia nulla ).
Nel passaggio successivo si va a scrivere il determinante della nostra matrice iniziale come la somma dei determinanti delle varie matrici ottenute "portando fuori" l'elemento a_{in}.
Considerando però che le righe A_i sono costituite solo da tale elemento in combinazione con il vettore e_i^T, allora "portandolo fuori" ci restituirà lo stesso vettore e_i^T.

Ovviamente questo passaggio è dovuto alla proprietà dell'applicazione determinante, la quale ci dice che

det(..., \lambda A_i, ...) = \lambda \cdot det(..., A_i, ...)

Infine si va a sostituire semplicemente la matrice ottenuta da tutte le righe e quella privata di un elemento con la matrice B ( quindi non c'è alcun passaggio o applicazioni di teoremi strani .. è una semplice sostituzione per comodità ).

Fino a qui è tutto chiaro?
Ringraziano: Omega, xavier310

Re: Dimostrazione Sviluppo di Laplace #2939

avt
xavier310
Sfera
se considero questo passaggio

a_i_1 det(A_1,...,e^T_1,...,A_n)+...+a_i_n det(A_1,...,e^T_n,...,A_n)

A_1 \quad ed \quad e^T_1così come A_n \quad ed \quad e^T_n hanno lo stesso pedice quindi occupano la stessa riga?? emt emt

E poi il fatto che il det di A è uguale alla somma dei determinanti tolte le righe i-esime, da quale proprietà deriva?

Re: Dimostrazione Sviluppo di Laplace #2941

avt
xavier310
Sfera
()

Re: Dimostrazione Sviluppo di Laplace #2944

avt
frank094
Sfera
Per il tuo primo dubbio è sufficiente guardare la matrice B_j, che ci dice che e_1^T va semplicemente ad "occupare" la riga i-esima ( quindi non necessariamente la prima ) al posto del primo coefficiente.

In generale a_{in} è il coefficiente che occupare la riga i-esima e la colonna n-esima, mentre e_k^T ci dice semplicemente che il coefficiente 1 si trova nella posizione k.

-------------------------

La proprietà in questione è l'additività in ogni riga, la quale ci dice semplicemente che

det(..., A_i' + A_i'', ...) = det(..., A_i', ...) + det(..., A_i'', ...)

Nel complesso per lo sviluppo di Laplace, per giustificare questi due passaggi, ci si rifà alla linearità della applicazione det.
Credo di essere stato poco chiaro prima quindi cerco di spiegarti nella maniera migliore possibile la dimostrazione, se poi dovessi avere altri dubbi chiedi pure. Noi scriviamo la riga i-esima di una matrice come

A_i = a_{i1} e_1^T + ... + a_{in} e_n^T

questo perché la riga i-esima ha in "prima posizione" l'elemento a_{i1}, per questo esso viene combinato con il vettore e_1^T; un discorso analogo vale per tutti gli altri elementi.

Ora, io posso scrivere la matrice A come data dalle sue righe, ossia

det(A) = det(A_1, A_2, ..., A_i, ..., A_n)

A questo punto però, sfruttando le proprietà di questa applicazione lineare, vogliamo riscrivere il tutto come somma di più determinanti.
L'additività della nostra applicazione ( sopra ne trovi il funzionamento ) ci permette di scrivere

det(A_1, A_2, ..., A_i, ..., A_n) = det(A_1, ..., a_{i1} e_{1}^{T}, ..., A_n) + ... +

+ det(A_1, ..., a_{in} e_{n}^{T}, ..., A_n)

Questo perché A_i lo si può scrivere come già fatto vedere in precedenza; a questo punto sfruttando il fatto che è omogenea in ogni riga tiro fuori i coefficienti:

det(A_1, A_2, ..., A_i, ..., A_n) = a_{i1} det(A_1, ..., e_{1}^{T}, ..., A_n) + ... +

+ a_{in} det(A_1, ..., e_{n}^{T}, ..., A_n)

E quindi arriviamo al risultato voluto, questo volta è tutto chiaro?
Ringraziano: Omega, xavier310

Re: Dimostrazione Sviluppo di Laplace #2945

avt
xavier310
Sfera
Quindi praticamente A_1 \quad ed \quad e^T_1così come A_n \quad ed \quad e^T_n, sia nel primo che nel secondo caso il pedice di A rappresenta una riga mentre il pedice di e rappresenta una colonna?

Il resto è chiaro emt

Re: Dimostrazione Sviluppo di Laplace #2947

avt
frank094
Sfera
Il pedice di A_n ti dice essenzialmente a quale riga della matrice A ti stai riferendo.
Non è il pedice che rappresenta una riga, ma è proprio A_n ad essere la riga n-sima della matrice.

Per quanto riguarda e_j^T, consiste nel vettore della base canonica ( che ha tutti 0 tranne nella posizione j ) ma trasposto. Ad esempio:

e_1^T = (1, 0, 0, ..., 0)

e_2^T = (0, 1, 0, ..., 0)

e_n^T = (0, 0, 0, ..., 1)

Adesso è più chiaro ?
Ringraziano: Omega, xavier310
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