Dimostrazione Sviluppo di Laplace

Buongiorno ragazzi; sono stato un po assente ultimamente ma ritorno sul forum perchè ho urgente bisogno di voi.

Avrei bisogno di capire la dimostrazione dello sviluppo di Laplace che da il mio libro (devo riuscire a capire solo l'inizio della dimostrazione)

DIMOSTRAZIONE

Sia la riga i-esima. Allora

,

dove



Potreste spiegarmi questa prima parte della dimostrazione? Cioè il problemaa è che faccio un po di confusione con la terminologia :(

Che ne dici di vedere l'intera dimostrazione per filo e per segno? Almeno poi chi finisce qui cercando "sviluppo di Laplace" non rimane deluso sul più bello

DIMOSTRAZIONE

Sia la riga i-esima. Allora

,

dove



Ora, se nella matrice sottraiamo opportuni multipli
dell'i-esima riga (che è ) a tutte le altre righe, oteniamo la matrice di uguale determinante e la cui j-esima colonna è

Calcolando ora con lo sviluppo di Laplace lungo la colonna j-esima, soo un addendo è diverso da zero, per cui

Questa è la dimostrazione che viene data sul mio libro

Ciao Xavier, semplicemente lo Sviluppo di Laplace serve per calcolare il determinante di una matrice seguendo uno sviluppo per colonne.

La dimostrazione inizia con il considerare la riga i-esima e tutti gli elementi che la compongono.
Ovviamente ci dice che stiamo considerando il primo elemento della riga i-esima, mentre è il famoso vettore che si trova nella base canonica ma trasposto.


Quindi la riga si può scrivere senza problemi come combinazione tra l'elemento e il vettore adatto alla posizione ( una bella comodità! ).

Dopo si passa a scrivere il determinante della matrice come quello della matrice composta da tutte le righe di ( quindi non cambia nulla ).
Nel passaggio successivo si va a scrivere il determinante della nostra matrice iniziale come la somma dei determinanti delle varie matrici ottenute "portando fuori" l'elemento .
Considerando però che le righe sono costituite solo da tale elemento in combinazione con il vettore , allora "portandolo fuori" ci restituirà lo stesso vettore .

Ovviamente questo passaggio è dovuto alla proprietà dell'applicazione determinante, la quale ci dice che


Infine si va a sostituire semplicemente la matrice ottenuta da tutte le righe e quella privata di un elemento con la matrice ( quindi non c'è alcun passaggio o applicazioni di teoremi strani .. è una semplice sostituzione per comodità ).

Fino a qui è tutto chiaro?

se considero questo passaggio



così come hanno lo stesso pedice quindi occupano la stessa riga??

E poi il fatto che il det di A è uguale alla somma dei determinanti tolte le righe i-esime, da quale proprietà deriva?

()

Per il tuo primo dubbio è sufficiente guardare la matrice , che ci dice che va semplicemente ad "occupare" la riga i-esima ( quindi non necessariamente la prima ) al posto del primo coefficiente.

In generale è il coefficiente che occupare la riga i-esima e la colonna n-esima, mentre ci dice semplicemente che il coefficiente 1 si trova nella posizione k.

-------------------------

La proprietà in questione è l'additività in ogni riga, la quale ci dice semplicemente che


Nel complesso per lo sviluppo di Laplace, per giustificare questi due passaggi, ci si rifà alla linearità della applicazione det.
Credo di essere stato poco chiaro prima quindi cerco di spiegarti nella maniera migliore possibile la dimostrazione, se poi dovessi avere altri dubbi chiedi pure. Noi scriviamo la riga i-esima di una matrice come


questo perché la riga i-esima ha in "prima posizione" l'elemento , per questo esso viene combinato con il vettore ; un discorso analogo vale per tutti gli altri elementi.

Ora, io posso scrivere la matrice come data dalle sue righe, ossia


A questo punto però, sfruttando le proprietà di questa applicazione lineare, vogliamo riscrivere il tutto come somma di più determinanti.
L'additività della nostra applicazione ( sopra ne trovi il funzionamento ) ci permette di scrivere



Questo perché lo si può scrivere come già fatto vedere in precedenza; a questo punto sfruttando il fatto che è omogenea in ogni riga tiro fuori i coefficienti:



E quindi arriviamo al risultato voluto, questo volta è tutto chiaro?

Quindi praticamente così come , sia nel primo che nel secondo caso il pedice di A rappresenta una riga mentre il pedice di e rappresenta una colonna?

Il resto è chiaro

Il pedice di ti dice essenzialmente a quale riga della matrice ti stai riferendo.
Non è il pedice che rappresenta una riga, ma è proprio ad essere la riga n-sima della matrice.

Per quanto riguarda , consiste nel vettore della base canonica ( che ha tutti 0 tranne nella posizione j ) ma trasposto. Ad esempio:




Adesso è più chiaro ?