Teorema di Binet

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Teorema di Binet #27242

avt
majestic
Banned
Cerco l'enunciato e soprattutto la dimostrazione del teorema di Binet. Quella del mio libro è davvero poco chiara e quindi chiedo il vostro aiuto: potreste fornirmi una dimostrazione quanto più semplice possibile del teorema di Binet sul determinante del prodotto tra matrici?
Ringraziano: JerzH71
 
 

Teorema di Binet #27591

avt
Omega
Amministratore
Il teorema di Binet asserisce che il determinante del prodotto di due matrici quadrate dello stesso ordine è uguale al prodotto dei determinanti. In altri termini, se A e B sono due matrici quadrate di ordine n, allora

det(AB) = det(A)det(B)

Per fornire una dimostrazione quanto più chiara possibile dobbiamo richiamare la definizione di determinante.

Fissato un numero naturale n ≥ 1, sia Mat(n,n,K) lo spazio delle matrici quadrate di ordine n a coefficienti nel campo K.

Presa una qualsiasi matrice R∈ Mat(n,n,K) indichiamo con R_1, R_2, ..., R_n le sue righe.

Prende il nome di determinante d_n la funzione definita sullo spazio di matrici Mat(n,n,K) a valori in K

d_n: Mat(n,n,K) → K

o, equivalentemente, la funzione definita sullo spazio dei vettori riga a valori in K

d_n: K^n×K^n×...×K^n (n volte) → K

che a una matrice R ∈ Mat(n,n,K) associa uno scalare e che gode delle seguenti proprietà:

(A) se la matrice R ha due righe uguali, allora d_n(R) = 0;

(B) d_n è lineare in ogni riga, cioè soddisfa la proprietà di additività:

d_n(R_1, R_2, ..., R'_i+R''_i, ..., R_n) = d_n(R_1, R_2, ..., R'_i, ..., R_n)+d_n(R_1, R_2, ..., R''_i, ..., R_n)

e di omogeneità:

d_n(R_1, R_2, ..., λ R_i, ..., R_n) = λ d_n(R_1, R_2, ..., R_i, ..., R_n)

(C) d_n(Id_n) = 1, dove Id_n è la matrice identità di ordine n.

Siamo ora pronti a fornire la dimostrazione del teorema di Binet, secondo cui:

per ogni A, B ∈ Mat(n,n,K), det(AB) = det(A)det(B)

Cominciamo analizzando il caso in cui il determinante di B è nullo, supponiamo cioè che det(B) = 0. Per la legge di annullamento del prodotto

det(A) det(B) = 0

Dobbiamo dimostrare è nullo anche il determinante del prodotto AB, vale a dire:

det(AB) = 0

Avendo supposto che det(B) = 0, dalle proprietà del determinante segue che le colonne di B sono linearmente dipendenti, ossia esistono n scalari non tutti nulli v_1, v_2, ..., v_n ∈ K tali che

v_1 B^1+v_2B^2+...+v_nB^n = 0

dove B^1, B^2, ..., B^n sono le colonne di B, mentre 0 è il vettore colonna nullo.

In altri termini, esiste un vettore v = (v_1, v_2, ..., v_n) ∈ K^n non identicamente nullo tale che

B v = 0

Moltiplicando ambo i membri della precedente relazione per A segue che

(AB)v = A0 = 0

L'equazione matriciale (AB)v = 0 si esprime in forma equivalente come

v_1(AB)^1+v_2(AB)^(2)+...+v_n(AB)^(n) = 0

dove (AB)^(1), (AB)^(2), ..., (AB)^(n) indicano le n colonne di AB.

Poiché v non è identicamente nullo, la relazione precedente garantisce la dipendenza lineare delle colonne di AB, per cui:

det(AB) = 0

che è quanto volevamo provare.

Supponiamo ora che sia det(B) ≠ 0 e consideriamo l'applicazione

 f: Mat(n,n,K) → K ; A ↦ f(A): = (det(AB))/(det(B))

che, avvalendoci della definizione formale di determinante, può essere interpretata come una funzione delle righe di A.

In termini più espliciti, per i∈1,2,..., n, dette A_i e B_i le i-esime righe di A e di B rispettivamente, e indicata con A_(i)B l'i-esima riga della matrice prodotto AB, f(A) si riscrive nella forma più comoda:

 f(A) = f(A_1, A_2, ... , A_n) = (d_n(A_1B, A_2B, ..., A_n B))/(d_n(B_1, B_2, ..., B_n))

Per raggiungere la tesi dobbiamo dimostrare che f coincide con la funzione determinante d_n. A tal proposito è sufficiente provare che per f valgono le proprietà (A), (B) e (C), vale a dire:

(A) se due righe della matrice A sono uguali allora f(A) = 0

(B) f è sia additiva, cioè:

 f(A_1, A_2, ..., A_(i)'+A_(i)'', ..., A_n) = f(A_1, A_2, ..., A_(i)', ..., A_(n))+f(A_1, A_2, ..., A_(i)'', ..., A_(n))

sia omogenea, vale a dire: preso un qualsiasi scalare λ∈K, si ha che

f(A_1, A_2, ... , λ A_(i), ..., A_n) = λ f(A_1, A_2, ..., A_(i), ..., A_n)

(C) f(Id_(n)) = 1

Se f rispetta le proprietà, l'unicità del determinante consentirà di concludere che f(A) coincide con il determinante della matrice.

Dimostriamo singolarmente le 3 proprietà.

(A) Dette A_1, A_2, ..., A_n le righe di A, supponiamo che due di esse siano uguali, ossia consideriamo il caso in cui A_i = A_j per qualche i ≠ j.

Ricordando com'è definito il prodotto riga per colonna, le righe di AB sono:

A_1B, A_2B, ..., A_(i)B,..., A_(j)B,... , A_nB

Per vederlo basta sviluppare il prodotto considerando la prima riga di A e tutte le colonne di B, ottenendo così la prima riga di AB; le restanti si ottengono in maniera analoga.

Poiché A_i = A_j anche A_iB = A_jB, pertanto la matrice AB ha due righe uguali e in base alle proprietà di d_n:

d_(n)(A_1B, A_2B,..., A_iB, ..., A_jB,..., A_nB) = 0

Questa informazione consente di affermare che f(A) = 0, infatti:

 f(A) = f(A_1, A_2, ..., A_i,..., A_(j),..., A_n) = (d_n(A_1B, A_2B, ..., A_iB,..., A_(j)B, ..., A_nB))/(d_n(B_1, B_2, ..., B_n)) = 0

e la proprietà (A) è dimostrata.

Dimostriamo la proprietà (B) partendo dal termine:

f(A_1, A_2, ..., A_(i)'+A_(i)'',..., A_n) =

che diventa

 = (d_n(A_1B, A_2B,..., (A_(i)'+A_(i)'')B, ..., A_nB))/(d_n(B_1, B_2, ..., B_n)) = (d_n(A_1B, A_2B, ..., A_(i)'B+A_(i)''B, ..., A_nB))/(d_n(B_1, B_2, ..., B_n)) =

Grazie all'additività di d_n, l'ultima frazione si traduce nell'espressione:

= (d_n(A_1B, A_2B, ..., A_(i)'B, ..., A_nB)+d_n(A_1B, A_2B, ..., A_(i)''B, ..., A_nB))/(d_n(B_1, B_2, ..., B_n)) =

A questo punto distribuiamo il denominatore a ciascun addendo del numeratore

= (d_n(A_1B, A_2B, ..., A_(i)'B, ..., A_nB))/(d_n(B_1, B_2, ..., B_n))+(d_n(A_1B, A_2B, ..., A_(i)''B, ..., A_nB))/(d_n(B_1, B_2, ..., B_n))

e osserviamo quanto segue:

 (d_n(A_1B, A_2B, ..., A_(i)'B, ..., A_nB))/(d_n(B_1, B_2, ..., B_n)) = f(A_1, A_2, ..., A_(i)', ..., A_(n))

mentre

(d_n(A_1B, A_2B, ..., A_(i)''B, ..., A_nB))/(d_n(B_1, B_2, ..., B_n)) = f(A_1, A_2, ..., A_(i)'', ..., A_(n))

Queste uguaglianze ci autorizzano a concludere che:

 (d_n(A_1B, A_2B, ..., A_(i)'B, ..., A_nB))/(d_n(B_1, B_2, ..., B_n))+(d_n(A_1B, A_2B, ..., A_(i)''B, ..., A_nB))/(d_n(B_1, B_2, ..., B_n)) = f(A_1, A_2, ..., A_(i)', ..., A_(n))+f(A_1, A_2, ..., A_(i)'', ..., A_(n))

dimostrando così l'additività di f.

Per quanto concerne l'omogeneità, consideriamo λ∈K. Il nostro compito prevede di verificare l'uguaglianza:

f(A_1, A_2, ..., λ A_(i), ..., A_n) = λ f(A_1, A_2, ... , A_(i), ..., A_n)

Per come è definita f, il termine

f(A_1, A_2, ..., λ A_(i), ..., A_n) =

si tramuta nell'espressione

= (d_n(A_1, A_2, ..., λ A_(i), ..., A_n))/(d_n(B_1, B_2, ..., B_n)) =

Sfruttando, infine, l'omogeneità della funzione d_n ricaviamo:

 = (λ d_n(A_1, A_2, ..., A_(i), ..., A_n))/(d_n(B_1, B_2, ..., B_n)) = λ f(A_1, A_2, ..., A_i, ..., A_n)

che è quello che volevamo dimostrare.

(C) Dimostriamo l'ultima proprietà: dobbiamo far vedere che

f(Id_n) = 1

dove Id_n è la matrice identità di ordine n, avente per righe

 e_(1) = (1, 0, ..., 0) ; e_(2) = (0, 1, ..., 0) ; ⋮ ; e_(n) = (0, 0, ..., 1)

Esplicitiamo il termine f(Id_(n)):

f(Id_(n)) = (d_(n)(e_(1)B, e_(2)B, ... , e_(n)B))/(d_n(B_1, B_2, ..., B_n)) = (•)

e usiamo la definizione di prodotto riga per colonna, secondo cui e_(i)B coincide con l'i-esima riga di B:

e_(i)B = B_(i) per ogni i∈1,2,...,n

In virtù di questa uguaglianza, (•) si riscrive nella forma:

(•) = (d_(n)(B_1, B_2, ... , B_(n)))/(d_n(B_1, B_2,..., B_n)) = 1

e anche la proprietà (C) è verificata.

L'applicazione f soddisfa tutte le proprietà di determinante, e dall'unicità di quest'ultimo segue che f(A) coincide con det(A).

f(A) = det(A)

Alla luce di queste considerazioni, la relazione

f(A) = (det(AB))/(det(B))

si tramuta nell'uguaglianza

det(A) = (det(AB))/(det(B))

che, una volta moltiplicati i membri per det(B), diventa

det(AB) = det(A)det(B)

come volevamo dimostrare.
Ringraziano: LittleMar, 1debye3, Erwin S., Denys, Spak84, JerzH71
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