Teorema di Binet
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Teorema di Binet #27242
![]() majestic Banned | Cerco l'enunciato e soprattutto la dimostrazione del teorema di Binet. Quella del mio libro è davvero poco chiara e quindi chiedo il vostro aiuto: potreste fornirmi una dimostrazione quanto più semplice possibile del teorema di Binet sul determinante del prodotto tra matrici? |
Ringraziano: JerzH71 |
Teorema di Binet #27591
![]() Omega Amministratore | Il teorema di Binet asserisce che il determinante del prodotto di due matrici quadrate dello stesso ordine è uguale al prodotto dei determinanti. In altri termini, se Per fornire una dimostrazione quanto più chiara possibile dobbiamo richiamare la definizione di determinante. Fissato un numero naturale Presa una qualsiasi matrice Prende il nome di determinante o, equivalentemente, la funzione definita sullo spazio dei vettori riga a valori in ![]() che a una matrice (A) se la matrice (B) ![]() e di omogeneità: ![]() (C) Siamo ora pronti a fornire la dimostrazione del teorema di Binet, secondo cui: ![]() Cominciamo analizzando il caso in cui il determinante di Dobbiamo dimostrare è nullo anche il determinante del prodotto Avendo supposto che ![]() dove ![]() In altri termini, esiste un vettore Moltiplicando ambo i membri della precedente relazione per L'equazione matriciale ![]() dove ![]() Poiché che è quanto volevamo provare. Supponiamo ora che sia ![]() che, avvalendoci della definizione formale di determinante, può essere interpretata come una funzione delle righe di In termini più espliciti, per ![]() Per raggiungere la tesi dobbiamo dimostrare che (A) se due righe della matrice (B) ![]() sia omogenea, vale a dire: preso un qualsiasi scalare ![]() (C) Se Dimostriamo singolarmente le 3 proprietà. (A) Dette Ricordando com'è definito il prodotto riga per colonna, le righe di ![]() Per vederlo basta sviluppare il prodotto considerando la prima riga di Poiché ![]() Questa informazione consente di affermare che ![]() e la proprietà (A) è dimostrata. Dimostriamo la proprietà (B) partendo dal termine: ![]() che diventa ![]() Grazie all'additività di ![]() A questo punto distribuiamo il denominatore a ciascun addendo del numeratore ![]() e osserviamo quanto segue: ![]() mentre ![]() Queste uguaglianze ci autorizzano a concludere che: ![]() dimostrando così l'additività di Per quanto concerne l'omogeneità, consideriamo ![]() Per come è definita ![]() si tramuta nell'espressione ![]() Sfruttando, infine, l'omogeneità della funzione ![]() che è quello che volevamo dimostrare. (C) Dimostriamo l'ultima proprietà: dobbiamo far vedere che dove ![]() Esplicitiamo il termine ![]() e usiamo la definizione di prodotto riga per colonna, secondo cui ![]() In virtù di questa uguaglianza, ![]() e anche la proprietà (C) è verificata. L'applicazione Alla luce di queste considerazioni, la relazione ![]() si tramuta nell'uguaglianza ![]() che, una volta moltiplicati i membri per come volevamo dimostrare. |
Ringraziano: LittleMar, 1debye3, Erwin S., Denys, Spak84, JerzH71 |
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