Teorema di Binet

Cerco l'enunciato e soprattutto la dimostrazione del teorema di Binet. Quella del mio libro è davvero poco chiara e quindi chiedo il vostro aiuto: potreste fornirmi una dimostrazione quanto più semplice possibile del teorema di Binet sul determinante del prodotto tra matrici?

Il teorema di Binet asserisce che il determinante del prodotto di due matrici quadrate dello stesso ordine è uguale al prodotto dei determinanti. In altri termini, se sono due matrici quadrate di ordine , allora


Per fornire una dimostrazione quanto più chiara possibile dobbiamo richiamare la definizione di determinante.

Fissato un numero naturale , sia lo spazio delle matrici quadrate di ordine a coefficienti nel campo .

Presa una qualsiasi matrice indichiamo con le sue righe.

Prende il nome di determinante la funzione definita sullo spazio di matrici a valori in



o, equivalentemente, la funzione definita sullo spazio dei vettori riga a valori in



che a una matrice associa uno scalare e che gode delle seguenti proprietà:

(A) se la matrice ha due righe uguali, allora ;

(B) è lineare in ogni riga, cioè soddisfa la proprietà di additività:



e di omogeneità:



(C) , dove è la matrice identità di ordine .

Siamo ora pronti a fornire la dimostrazione del teorema di Binet, secondo cui:



Cominciamo analizzando il caso in cui il determinante di è nullo, supponiamo cioè che . Per la legge di annullamento del prodotto



Dobbiamo dimostrare è nullo anche il determinante del prodotto , vale a dire:



Avendo supposto che , dalle proprietà del determinante segue che le colonne di sono linearmente dipendenti, ossia esistono scalari non tutti nulli tali che



dove sono le colonne di , mentre è il vettore colonna nullo.

In altri termini, esiste un vettore non identicamente nullo tale che



Moltiplicando ambo i membri della precedente relazione per segue che



L'equazione matriciale si esprime in forma equivalente come



dove indicano le colonne di .

Poiché non è identicamente nullo, la relazione precedente garantisce la dipendenza lineare delle colonne di , per cui:



che è quanto volevamo provare.

Supponiamo ora che sia e consideriamo l'applicazione



che, avvalendoci della definizione formale di determinante, può essere interpretata come una funzione delle righe di .

In termini più espliciti, per , dette le i-esime righe di e di rispettivamente, e indicata con l'i-esima riga della matrice prodotto , si riscrive nella forma più comoda:



Per raggiungere la tesi dobbiamo dimostrare che coincide con la funzione determinante . A tal proposito è sufficiente provare che per valgono le proprietà (A), (B) e (C), vale a dire:

(A) se due righe della matrice sono uguali allora

(B) è sia additiva, cioè:



sia omogenea, vale a dire: preso un qualsiasi scalare , si ha che



(C)

Se rispetta le proprietà, l'unicità del determinante consentirà di concludere che coincide con il determinante della matrice.

Dimostriamo singolarmente le 3 proprietà.

(A) Dette le righe di , supponiamo che due di esse siano uguali, ossia consideriamo il caso in cui per qualche .

Ricordando com'è definito il prodotto riga per colonna, le righe di sono:



Per vederlo basta sviluppare il prodotto considerando la prima riga di e tutte le colonne di , ottenendo così la prima riga di ; le restanti si ottengono in maniera analoga.

Poiché anche , pertanto la matrice ha due righe uguali e in base alle proprietà di :



Questa informazione consente di affermare che , infatti:



e la proprietà (A) è dimostrata.

Dimostriamo la proprietà (B) partendo dal termine:



che diventa



Grazie all'additività di , l'ultima frazione si traduce nell'espressione:



A questo punto distribuiamo il denominatore a ciascun addendo del numeratore



e osserviamo quanto segue:



mentre



Queste uguaglianze ci autorizzano a concludere che:



dimostrando così l'additività di .

Per quanto concerne l'omogeneità, consideriamo . Il nostro compito prevede di verificare l'uguaglianza:



Per come è definita , il termine



si tramuta nell'espressione



Sfruttando, infine, l'omogeneità della funzione ricaviamo:



che è quello che volevamo dimostrare.

(C) Dimostriamo l'ultima proprietà: dobbiamo far vedere che



dove è la matrice identità di ordine , avente per righe



Esplicitiamo il termine :



e usiamo la definizione di prodotto riga per colonna, secondo cui coincide con l'i-esima riga di :



In virtù di questa uguaglianza, si riscrive nella forma:



e anche la proprietà (C) è verificata.

L'applicazione soddisfa tutte le proprietà di determinante, e dall'unicità di quest'ultimo segue che coincide con .



Alla luce di queste considerazioni, la relazione



si tramuta nell'uguaglianza



che, una volta moltiplicati i membri per , diventa



come volevamo dimostrare.