Matrice associata a una nuova base per un endomorfismo

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Matrice associata a una nuova base per un endomorfismo #27203

avt
Marcx
Punto
Vi scrivo per chiedere qualche delucidazione in merito al calcolo della matrice associata a un endomorfismo con la formula del cambiamento di base. Sebbene sappia calcolare la matrice rappresentativa con la definizione, non mi è affatto chiaro come determinarla attraverso la formula del cambio base.

Sia f:R^3 → R^3 l'endomorfismo dato da

f(x,y,z) = (x-y, y-z, x-z)

Dopo aver calcolato la matrice canonicamente associata a f determinare, con la formula del cambiamento di base, la matrice rappresentativa di f rispetto alla base

mathcalB = (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)
 
 

Matrice associata a una nuova base per un endomorfismo #27211

avt
Omega
Amministratore
Indichiamo con mathcalC la base canonica di R^3:

mathcalC = e_1, e_2, e_3 = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)

La matrice canonicamente associata all'endomorfismo f:R^3 → R^3 definito da

f(x,y,z) = (x-y, y-z, x-z)

è la matrice associata a f rispetto a mathcalC, ossia è quella matrice che ha come colonne i vettori f(e_1), f(e_2), f(e_3).

Calcoliamo, allora, le immagini mediante f dei vettori di mathcalC.

f(e_1) = f(1,0,0) = (1-0, 0-0, 1-0) = (1,0,1) ; f(e_2) = f(0,1,0) = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1,1,0) ; f(e_3) = f(0,0,1) = (0-0, 0-1, 0-1) = (0,-1,-1)

di conseguenza

A_f^(mathcalC) = [1 -1 0 ; 0 1 -1 ; 1 0 -1]

Ci viene poi chiesto di determinare la matrice A_f^(mathcalB) rappresentativa di f rispetto alla base

mathcalB = (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)

usando la formula del cambiamento di base.

Secondo tale formula

A_f^(mathcalB) = M_(mathcalC → mathcalB)·A_f^(mathcalC)·M_(mathcalB → mathcalC)

dove · denota il prodotto tra matrici, M_(mathcalC → mathcalB) è la matrice di cambiamento di base da mathcalC a mathcalB e M_(mathcalB → mathcalC) è la matrice di passaggio da mathcalB a mathcalC.

Ora, M_(mathcalB → mathcalC) è una matrice 3×3 che ha per colonne i vettori di mathcalB

M_(mathcalB → mathcalC) = [1 0 1 ; 1 1 0 ; 0 1 1]

La matrice che effettua il passaggio inverso, ossia M_(mathcalC → mathcalB), è l'inversa della matrice M_(mathcalB → mathcalC)

M_(mathcalC → mathcalB) = (M_(mathcalB → mathcalC))^(-1) = [1 0 1 ; 1 1 0 ; 0 1 1]^(-1) = [(1)/(2) (1)/(2) -(1)/(2) ;-(1)/(2) (1)/(2) (1)/(2) ; (1)/(2) -(1)/(2) (1)/(2)]

Abbiamo ora tutto quello che serve per calcolare A_f^(mathcalB)

A_f^(mathcalB) = M_(mathcalC → mathcalB)·A_f^(mathcalC)·M_(mathcalB → mathcalC) = [(1)/(2) (1)/(2) -(1)/(2) ;-(1)/(2) (1)/(2) (1)/(2) ; (1)/(2) -(1)/(2) (1)/(2)] [1 -1 0 ; 0 1 -1 ; 1 0 -1] [1 0 1 ; 1 1 0 ; 0 1 1] = [0 0 0 ; 1 0 -1 ; 0 -1 1]

È fatta!
Ringraziano: Pi Greco
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Os