Questionario di algebra lineare con vari argomenti

Rieccomi quì con varie domande di teoria:

I seguenti sottoinsiemi di R^3 sono sottospazi vettoriali di R^3:

V F 0
V F {(0,0,0)}
V F {(x,y,z)€R^3 | x+y+z=1}
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La forma quadratica reale q(x,y)=x^2+4xy+3y^2 ha indice di negatività:

V F 1
V F 2
V F 0
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Date A,B € M2(R), A= | -4 1 | B= | -3 radq(2)| Allora:
| 1 -2 | |radq(2) -3 |

V F esse sono simili e congruenti
V F esse sono congruenti ma non simili
V F esse sono simili ma non congruenti
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Sia A€Sn(R) e sia B=2A. Allora A e B:

V F sono simili e congruenti
V F sono simili, ma non congruenti
V F sono congruenti ma non simili
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Siano V e W spazi vettoriali sullo stesso campo e siano v1,v2 € V e w1,w2 € W.

V F Se v1,v2 sono linearmente indipendenti allora esiste una trasformazione lineare T:V-->W tale che T(vi)=wi per i=1,2

V F Se{w1,w2} è una base di W allora esiste un'unica trasformazione lineare T:V-->W tale che T(vi)=wi per i=1,2

V F Se v1=0v e w1 diverso da 0w allora non esiste una trasformazione lineare T:V-->W tale che T(vi)=wi, per i=1,2
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Grazie

Vediamo un po' come procedere:

I seguenti sottoinsiemi di R^3 sono sottospazi vettoriali di R^3:

Falso: uno scalare non può essere un sottospazio vettoriale

Vero: l'origine è un sottospazio vettoriale, in particolare è il sottospazio vettoriale banale (si verifica facilmente che è chiuso per somma e prodotto per uno scalare...abbastanza velocemente )

Vero: è un piano nello spazio tridimensionale (in alternativa, è sufficiente effettuare la verifica delle proprietà di sottospazio vettoriale)

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La forma quadratica reale ha indice di negatività:

Per poter rispondere, è necessario determinare la matrice che rappresenta la forma quadratica considerata rispetto ad una base qualsiasi, determinarne gli autovalori e dunque la segnatura della matrice stessa.

La segnaturà è una terna di numeri che riporta il numero di autovalori positivi, negativi e nulli, detti rispettivamente indice di positività, di negatività e di nullità della forma quadratica.

Non dovrebbe essere difficile vedere che la matrice associata alla forma quadratica è



ed ha autovalori



quindi si deduce che l'indice di negatività è .

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Date





per vedere se sono simili, dobbiamo verificare che coincidano rango, determinante e traccia. Non è difficile calcolarli:



quindi già si intuisce che non sono simili

Per vedere se sono congruenti, confrontiamo le segnature: la segnatura di è



quella di



e dunque le due matrici sono congruenti.

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Fin qui tutto ok?

nella matrice -4 1 mi sà che hai sbagliato, perchè il det viene 7 no?
1 -2
quindi sono simili giusto?

Nella terza domanda dei sottospazi vettoriali non mi convince la terza affermazione(che per me è falsa) perchè se io dò ad x,y,z il valore 0,0,0
x+y+z=1 viene 0=1 e quindi è falso o mi sto sbagliando completamente?



Ah e per la segnatura l'hai trovata cercando gli autovalori e guardando se sono positivi/negativi/nulli giusto?

Buonanotte: il determinante è e quindi le due matrici sono simili. E per l'equazione



ho ragionato come se fosse un'equazione omogenea, mentre così non è, chiaramente, un sottospazio vettoriale!

Chiedo venia!

Invece per la segnatura sì: bisogna contare il numero di autovalori positivi, negativi e nulli.

ahahahaha .
vabbè, cmq gli ultimi 3 veri/falsi cm vengono?

Prego?

---Altro girone---

Sia e sia . Allora e sono matrici ortogonali, quindi in particolare invertibili e di conseguenza con determinante diverso da zero. Dal teorema di Binet risulta che



quindi le due matrici non possono essere simili. Sono però congruenti.

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Siano e spazi vettoriali sullo stesso campo e siano e .

"Se v1,v2 sono linearmente indipendenti allora esiste una trasformazione lineare T:V-->W tale che T(vi)=wi per i=1,2" Vero!

"Se{w1,w2} è una base di W allora esiste un'unica trasformazione lineare T:V-->W tale che T(vi)=wi per i=1,2" Vero!

Gli ultimi due sono risultati ben noti.

Nell'ultima cosa intendi con "0v" e "0w"