Equazione della retta parallela e perpendicolare ad un'altra

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Equazione della retta parallela e perpendicolare ad un'altra #26648

avt
pic16f84
Cerchio
Ciao a tutti! Ho alcuni dubbi sugli esercizi sull'equazione della retta parallela e della retta perpendicolare ad un'altra: ho da poco iniziato a studiare Geometria per il corso di Algebra Lineare.

Nelle mie dispense non c'è niente che riguarda l'equazione di rette parallele o perpendicolari ad un'altra, fa riferimento però ad un teorema:

se r_1 è una retta del tipo a_1x + b_1y + c_1 = 0 e se r è una retta del tipo ax+by+c=0, allora:

- sono perpendicolari se e solo se a\cdot a_1+b\cdot b_1=0;

- sono parallele se e solo se a\cdot b_1=b\cdot a_1.

C'è poi un esercizio svolto, il cui testo è: scrivere l'equazione della retta passante per (-1,3) perpendicolare al vettore [5,2].

Parte subito dicendo che l'equazione è della forma 5x+2y+c=0.

Ma quella non è invece l'equazione della retta in riferimento al vettore? Sembra quasi l'equazione parallela e non perpendicolare alla retta.

Mi sbaglio?
 
 

Re: Equazione della retta parallela e perpendicolare ad un'altra #26657

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao pic16f84 emt le condizioni che hai riportato sono corrette: si deducono molto velocemente scrivendo le equazioni delle rette dalla forma implicita alla forma esplicita e facendo riferimento ai coefficienti angolari.

In ogni caso è tutto spiegato qui: rette parallele e perpendicolari (nel piano).

Queste d'altronde sono reminiscenze delle scuole superiori. emt


Siano Q=(x,y) un punto del piano appartenente alla retta e P=(-1,3)

Il vettore \overrightarrow{PQ}=(x+1,y-3) è un vettore parallelo al vettore direttore della retta, e in quanto tale deve essere perpendicolare al vettore dato dall'esercizio \overrightarrow{w}=(5,2)

Ricordando che due vettori sono perpendicolari se e solo se il loro prodotto scalare è zero otteniamo che:

\langle\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{w}\rangle=0

Quindi:

\langle(x+1,y-3),(5,2)\rangle=0\iff 5(x+1)+2(y-3)=0\iff

5x+5+2y-6=0\iff 5x+2y-1=0

che è l'equazione della retta cercata. Esistono molti altri modi per risolvere l'esercizio emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, pic16f84

Re: Equazione della retta parallela e perpendicolare ad un'altra #26821

avt
pic16f84
Cerchio
Ho capito tutto quanto emt

Se invece cercassi una retta parallela alla direzione w=[5,2] e passante per P(-1,2) ?

Ho provato questo approccio:

P_0(x,y) e lo considero un punto a caso sulla retta che cerco.
P(-1,2) che è un punto appartenente alla retta che cerco.

P_0P = (x+1,y-2) che è il segmento tra P_0 e P.

Faccio il prodotto vettoriale tra P_0P e w e ha modulo uguale a

|P_0P\times w|=|P_0P|\ |w|\ \sin(\theta)

Solo che non so come trovare l'angolo compreso tra le 2 rette (per l'appunto, non trovo \theta).

Re: Equazione della retta parallela e perpendicolare ad un'altra #26834

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao pic16f84, personalmente cambierei approccio, anche perché il prodotto vettoriale è definito ben posto SOLO quando lavori con vettori di \mathbb{R}^3.

Procedi in questo modo.

w= (5,2) è un vettore parallelo al vettore direttore della retta:

Di conseguenza:

\overrightarrow{P_0 P}= w t

Da cui si evince che:

r:\begin{cases}x+1= 5t\\ y-2= 2t\end{cases}

e quindi:

r:\begin{cases}x= 5t-1\\ y= 2t+2\end{cases}

Abbiamo ottenuto la retta nella forma parametrica. Passiamo in forma cartesiana. Vediamo come:

Dalla prima (o dalla seconda) equazione isoliamo t:

t= \frac{x+1}{5}

Sostituiamo nella seconda equazione:

y= 2\frac{x+1}{5}+2\iff y- 2\frac{x+1}{5}-2=0

Minimo comune multiplo:

\frac{5y-2x-2-10}{5}=0\iff -2x+5y-12=0
Ringraziano: Omega, Pi Greco, pic16f84

Re: Equazione della retta parallela e perpendicolare ad un'altra #26928

avt
pic16f84
Cerchio
Ora mi è tutto chiarissimo emt Ancora non sono arrivato al piano in tre dimensioni

Ti ringrazio davvero tanto! Purtroppo non ho appunti molto completi, e spesso le dispense non sono per niente esaurienti :(
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Os