Valori di un parametro per cui due vettori hanno la stessa direzione

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Valori di un parametro per cui due vettori hanno la stessa direzione #2607

avt
mery
Cerchio
Quando due vettori hanno la stessa direzione? Assegnati quattro punti parametrici dello spazio devo stabilire per quali valori del parametro due vettori hanno la stessa direzione, ma non ho proprio idee. Mi dareste una mano?

Assegnati i punti

\\ A(k, 2, 2) \ \ ; \ \ B(2k, 3, k-2) \\ \\ C(3k-1, \ k^2, \ 4) \ \ ; \ \ D(5k-1, \ k^2+2, \ 8)

determinare, se esistono, i valori reali del parametro k tali che i vettori \overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{CD} abbiano la stessa direzione.
 
 

Valori di un parametro per cui due vettori hanno la stessa direzione #2608

avt
Omega
Amministratore
Due vettori \vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^3 hanno la stessa direzione se esiste uno scalare non nullo \lambda \in \mathbb{R}-\{0\} tale che

\vec{u}=\lambda \vec{v}.

Premesso ciò, per stabilire se esistono valori del parametro k tali che i vettori \overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{CD} abbiano la stessa direzione, calcoliamo dapprima le componenti dei due vettori, imponiamo che sia

\overrightarrow{AB}=\lambda \overrightarrow{CD}

e risolviamo il sistema che ne scaturisce.

Conosciamo le coordinate cartesiane degli estremi

\\ A(k, 2, 2) \ \ ; \ \ B(2k, 3, k-2) \\ \\ C(3k-1, \ k^2, \ 4) \ \ ; \ \ D(5k-1, \ k^2+2, \ 8)

per cui

\\ \overrightarrow{AB}=B-A=(2k, 3, k-2) - (k, 2, 2) = \\ \\ = (2k-k, \ 3-2, \ k-2-2) = (k,1,k-4)

e, analogamente

\overrightarrow{CD}=D-C=(5k-1, \ k^2+2, \ 8) - (3k-1, \ k^2, \ 4) = \\ \\ = (5k-1-3k+1, \ k^2+2-k^2, \ 8-4) = (2k,2,4)

Richiediamo che sia

\overrightarrow{AB}=\lambda \overrightarrow{CD}

ossia

(k,1,k-4) = \lambda (2k,2,4) = (2\lambda k, 2 \lambda, 4\lambda)

Due vettori sono uguali se coincidono componente per componente, dunque dev'essere

\begin{cases}2\lambda k = k \\ 2\lambda=1 \\ 4\lambda=k-4\end{cases}

Siamo così ricaduti in un semplicissimo sistema lineare parametrico nell'incognita \lambda.

La seconda equazione è verificata per \lambda=\frac{1}{2}.

Se sostituiamo nella prima otteniamo un'identità

2\lambda k = k \ \to \ 2\cdot \frac{1}{2} k = k \ \to \ k=k

Sostituendo nella terza ricaviamo

4\lambda=k-4 \ \to \ 4 \cdot \frac{1}{2} = k-4 \ \to \ k=6

di conseguenza il sistema ammette soluzione se e solo se k=6, cosicché il valore del parametro k tale per cui i vettori \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{CD} abbiano la stessa direzione è k=6.

Verifichiamolo! Per k=6:

\overrightarrow{AB} = (6,1,2) \ \ \ ; \ \ \ \overrightarrow{CD}=(12,2,4)

ed effettivamente

\overrightarrow{AB} =\frac{1}{2} \overrightarrow{CD}

Abbiamo finito!
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Os