Valori di un parametro per cui due vettori hanno la stessa direzione

Quando due vettori hanno la stessa direzione? Assegnati quattro punti parametrici dello spazio devo stabilire per quali valori del parametro due vettori hanno la stessa direzione, ma non ho proprio idee. Mi dareste una mano?

Assegnati i punti



determinare, se esistono, i valori reali del parametro tali che i vettori abbiano la stessa direzione.

Due vettori hanno la stessa direzione se esiste uno scalare non nullo tale che

.

Premesso ciò, per stabilire se esistono valori del parametro tali che i vettori abbiano la stessa direzione, calcoliamo dapprima le componenti dei due vettori, imponiamo che sia



e risolviamo il sistema che ne scaturisce.

Conosciamo le coordinate cartesiane degli estremi



per cui



e, analogamente



Richiediamo che sia



ossia



Due vettori sono uguali se coincidono componente per componente, dunque dev'essere



Siamo così ricaduti in un semplicissimo sistema lineare parametrico nell'incognita .

La seconda equazione è verificata per .

Se sostituiamo nella prima otteniamo un'identità



Sostituendo nella terza ricaviamo



di conseguenza il sistema ammette soluzione se e solo se , cosicché il valore del parametro tale per cui i vettori e abbiano la stessa direzione è .

Verifichiamolo! Per :



ed effettivamente



Abbiamo finito!