Trovare il piano passante per un punto perpendicolare a una retta

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Trovare il piano passante per un punto perpendicolare a una retta #25724

avt
lolloviola
Frattale
Dovrei determinare il piano perpendicolare a una retta e passante per un punto, ma c'è un problema: la traccia fornisce esclusivamente i punti per cui la retta passa. In questi casi come dovrei comportarmi?

Trovare il piano passante per il punto P(2,4,3) e perpendicolare alla retta r che passa per i punti A(3,6,5) e B(2,6,-1).

Grazie!
 
 

Trovare il piano passante per un punto perpendicolare a una retta #25734

avt
Ifrit
Amministratore
Il nostro obiettivo prevede di ricavare un piano perpendicolare a una retta e passante per un punto fissato. In questa particolare circostanza, il testo non fornisce alcuna rappresentazione della retta, bensì i punti per cui passa

 A(x_(A),y_(A),z_(A)) = (3,6,5) ; B(x_(B),y_(B),z_(B)) = (2,6,-1)

Poco male! Le coordinate dei punti ci permettono di costruire il seguente vettore che individua la direzione della retta

 v_(r) = (x_(B)-x_(A),y_(B)-y_(A),z_(B)-z_(A)) = (2-3,6-6,-1-5) = (-1,0,-6)

È grazie a esso e alla condizione di perpendicolarità retta-piano che saremo in grado di comporre l'equazione cartesiana del piano incognito, che si presenterà nella forma

π: ax+by+cz+d = 0

Affinché π sia perpendicolare a r il vettore dei parametri direttori del piano

n_(π) = (a,b,c)

deve essere scelto in modo che sia proporzionale a v_(r), ossia della forma

n_(π) = λ v_(r) con λ ne 0

solo così la condizione di perpendicolarità retta-piano è soddisfatta. Scegliendo ad esempio λ = 1, l'uguaglianza diventa

n_(π) = v_(r) = (-1,0,-6)

Iniziamo a comporre l'equazione del piano, sostituendo i valori a = -1,b = 0,c = -6:

π: ax+by+cz+d = 0 → π: -x-6z+d = 0

Ci manca solo il valore da attribuire al termine noto d: per farlo è sufficiente imporre il passaggio per il punto

P(x_P,y_P,z_P) = (2,4,3)

A questo proposito richiederemo che le coordinate del punto soddisfino l'equazione del piano, vale a dire:

P∈π ⇔ -2-18+d = 0

da cui segue immediatamente che d = 20.

Con il valore ottenuto, siamo in grado di comporre l'equazione del piano, che è:

π: -x-6z+20 = 0

o equivalentemente

π: x+6z-20 = 0

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, lolloviola
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Os