Angolo che un vettore del piano forma con l'asse y

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Angolo che un vettore del piano forma con l'asse y #2532

avt
margot
Frattale
Come si calcola l'ampiezza dell'angolo tra un vettore e l'asse delle ordinate? Vi anticipo che, al momento, abbiamo solo definito le componenti cartesiane di un vettore, quindi non posso usare la formula diretta per il calcolo dell'angolo.

Senza usare la formula dell'angolo tra vettori, calcolare l'ampiezza dell'angolo che il vettore

\vec{v}=\vec{i}+\sqrt{3}\vec{j}

forma con l'asse y.
 
 

Angolo che un vettore del piano forma con l'asse y #2534

avt
Omega
Amministratore
L'esercizio si sarebbe risolto in mezzo secondo con la formula diretta per il calcolo dell'angolo tra vettori, ma non potendola usare cerchiamo una strada alternativa.

L'angolo che un vettore forma con l'asse y è il complementare dell'angolo che lo stesso vettore forma con l'asse x.

Scriviamo il vettore

\vec{v}=\vec{i}+\sqrt{3}\vec{j}

per componenti:

\vec{v}=(v_x, v_y)=(1, \sqrt{3})

Indichiamo con \theta l'angolo tra \vec{v} e l'asse delle ascisse e sia ||\vec{v}|| la norma di \vec{v}. Allora:

\begin{cases}\cos(\theta)=\dfrac{v_x}{||\vec{v}||} \\ \\ \sin(\theta)=\dfrac{v_y}{||\vec{v}||}\end{cases}

Calcoliamo la norma, data dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti

\\ ||\vec{v}||=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2} = \\ \\ = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2

e sostituiamola nel sistema assieme alle componenti

\begin{cases}\cos(\theta)=\dfrac{1}{2} \\ \\ \sin(\theta)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}

Coseno e seno di \theta sono uguali, rispettivamente, a \frac{1}{2} e a \frac{\sqrt{3}}{2} per \theta=\frac{\pi}{3}, dunque il vettore \vec{v} forma un angolo di 60° con l'asse x.

Come anticipato, l'angolo tra \vec{v} e l'asse y è il complementare di \theta, per cui ha un ampiezza di

90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}.

È tutto!
Ringraziano: margot
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Os