Valore minimo e massimo del rango di una matrice, esercizio

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Valore minimo e massimo del rango di una matrice, esercizio #2523

avt
xavier310
Sfera
Ragazzi, non riesco a risolvere questo esercizio, ha a che fare con il rango delle matrici. In particolare, conoscendo il rango del quadrato di una matrice devo calcolare il valore minimo e massimo del rango della matrice. Potete aiutarmi?

Sia A \in M_5_,_5 \mathbb{R} tale che rgA^2=2 dove A^2=AA Determina valore minimo e massimo che può assumere rango di A, e trova delle matrici che realizzino questi valori.

Grazie a tutti
 
 

Valore minimo e massimo del rango di una matrice, esercizio #2542

avt
Omega
Amministratore
La regola che ci serve è quella sul rango del prodotto tra matrici A,B\in Mat(m,n,\mathbb{R}) secondo la quale il rango del prodotto è minore-uguale del rango delle singole matrici del prodotto, ossia

Rk(AB)\leq \{Rk(A),Rk( B )\}

dunque nel nostro caso

2=Rk(A^2)\leq\{Rk(A),Rk(A)\}=Rk(A)

Essendo A\in Mat(5,\mathbb{R}) non può avere rango superiore a 5, e dunque

2\leq Rk(A)\leq 5

Alla luce di ciò, tu come procederesti per trovare le matrici?
Ringraziano: Ifrit, xavier310

Valore minimo e massimo del rango di una matrice, esercizio #2545

avt
xavier310
Sfera
Scrivo un insieme di vettori in cui almeno due sono linearmente indipendenti?
Magari per fare più veloce prendo in considerazione due vettori della base canonica e trovo gli altri da opportune combinazioni lineari

Valore minimo e massimo del rango di una matrice, esercizio #2561

avt
Omega
Amministratore
Esattamente! Per trovare una matrice di rango 2 il cui quadrato abbia rango 2, puoi prendere

A=\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]

per cui risulta A^2=A.

E per trovare una matrice di rango 5 il cui quadrato abbia rango 2?...
Ringraziano: frank094, xavier310

Valore minimo e massimo del rango di una matrice, esercizio #2763

avt
xavier310
Sfera
Non lo so Omega...ho provato pure a fare i calcoli con diverse matrici, ma niente...

Valore minimo e massimo del rango di una matrice, esercizio #2773

avt
Omega
Amministratore
Il punto è che non devi fare calcoli.

Prendiamo una matrice quadrata A\in Mat_{5,5}(\mathbb{R}).

Ragiona così:

1) Se una matrice non ha rango massimo, le sue colonne sono linearmente dipendenti.

2) Se una matrice ha le colonne linearmente dipendenti, allora il suo determinante è necessariamente nullo.

3) Supponiamo per assurdo che esista una matrice A tale che

Rk(A)=5

Rk(A^2)=2

Di conseguenza sappiamo che, necessariamente, Det(A)\neq 0 e che Det(A^2)=0.

Lo vedi l'assurdo?...

...Se non fosse evidente, allora ricorri al teorema di Binet e osserva che
deve valere

Det(A^2)=Det(A\cdot A)=Det(A)\cdot Det(A)=\left[Det(A)\right]^2

da cui

Det(A)=\pm\sqrt{Det(A^2)}

che, evidentemente, cadrebbe in contraddizione con quanto dedotto dalla nostra ipotesi d'assurdo.
Ringraziano: Ifrit
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Os