Valore minimo e massimo del rango di una matrice, esercizio

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Valore minimo e massimo del rango di una matrice, esercizio #2523

avt
xavier310
Sfera
Non riesco a risolvere questo esercizio sul rango di una matrice. Conoscendo il rango del quadrato di una matrice devo calcolare il valore minimo e massimo del rango della matrice. Potete aiutarmi?

Sia A \in M_{5,5}(\mathbb{R}) tale che \mbox{rk}(A^2)=2 dove A^2=AA. Determinare il valore minimo e massimo che può assumere rango di A.

Dimostrare che il rango di A non può essere massimo.

Grazie!
 
 

Valore minimo e massimo del rango di una matrice, esercizio #2542

avt
Omega
Amministratore
La regola che ci serve per rispondere al primo quesito è quella sul rango del prodotto tra matrici A,B secondo la quale il rango del prodotto è minore-uguale del minimo tra i ranghi delle singole matrici.


Proposizione sul rango del prodotto

Se A è una matrice m\times n e se B è una matrice n\times k, allora vale la disuguaglianza

\mbox{rk}(AB)\le\mbox{min}(\mbox{rk}(A),\mbox{rk}(A))

In altre parole, il rango del prodotto di A per B è minore o al più uguale del minimo tra i ranghi dei fattori.

Applichiamola all'esercizio in esame.

Sappiamo che A è una matrice quadrata di ordine 5 tale che \mbox{rk}(A^2)=2. In base alla disuguaglianza notevole sul prodotto dei ranghi, possiamo scrivere

2=\mbox{rk}(A^2)\leq\mbox{min}(\mbox{rk}(A),\mbox{rk}(A))=\mbox{rk}(A)

(Nota: il minimo tra due numeri uguali è il numero stesso!)

Abbiamo la prima relazione che fornisce una minorazione per il rango di A

2\le \mbox{rk}(A)

Essendo A una matrice di ordine 5, il suo rango non può essere maggiore dell'ordine

\mbox{rk}(A)\leq 5

Mettendo assieme le due relazioni, ricaviamo la seguente doppia disuguaglianza

2\le\mbox{rk}(A)\le 5

Verifichiamo che \mbox{rk}(A)\ne 5 ragionando per assurdo.

Se A ha rango pari a 5, allora il suo determinante è diverso da 0,

\mbox{det}(A)\ne 0

Il teorema di Binet sul prodotto dei determinanti garantisce che anche il quadrato della matrice A, è diverso da 0, infatti

\\ \mbox{det}(A^2)=\mbox{det}(A A)=\mbox{det}(A)\cdot\mbox{det}(A)= \\ \\ =[\mbox{det}(A)]^2\ne 0

Dato che la base (\mbox{det}(A)\ne 0) è diversa da zero, anche il quadrato lo sarà!

Se \mbox{det}(A^2)\ne 0, allora il rango di A^2 dev'essere necessariamente massimo, ossia

\mbox{rk}(A^2)=5

contro l'ipotesi \mbox{rk}(A^2)=2. L'assurdo è scaturito dall'ipotesi \mbox{rk}(A)=5, che pertanto è falsa.

Alla luce di ciò, possiamo concludere che

2\le \mbox{rk}(A)\le 4

Abbiamo terminato.
Ringraziano: Ifrit, xavier310
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Os