Matrici congruenti
Due matrici quadrate 
di ordine 
si dicono matrici congruenti se esiste una matrice invertibile 
(anch'essa di ordine ) tale che il prodotto tra la trasposta di e le matrici 
si ottiene 
.
Nella precedente formula, 
indica lo spazio delle matrici quadrate a elementi nel campo 
dei numeri reali; 
è il gruppo generale lineare, formato dalle matrici invertibili di ordine , e 
è la trasposta della matrice .
Esempi
1) Ogni matrice è congruente a se stessa.
Basta infatti osservare che se è una matrice quadrata di ordine , allora la matrice invertibile che soddisfa la relazione 
è la matrice identità di ordine .
2) ![A = [16 24 ; 21 36] ; B = [2 0 ;−1 4]](/images/joomlatex/7/4/74586778079236fc62e541f6f05e3d37.gif)
sono matrici congruenti.
Se consideriamo la matrice
![P = [1 2 ; 0 3]](/images/joomlatex/9/0/90e260ef7e3c0d5715af3d64b1474de1.gif)
allora
![P^TBP = [1 2 ; 0 3]^T [2 0 ;−1 4] [1 2 ; 0 3] = [1 0 ; 2 3] [2 0 ;−1 4] [1 2 ; 0 3] = ..conti.. = [16 24 ; 21 36] = A](/images/joomlatex/0/3/03b1a927f84bb425ab1192b1d0a80406.gif)
Osservazioni
1) La congruenza tra matrici è una relazione d'equivalenza tra matrici quadrate dello stesso ordine. Si può infatti dimostrare facilmente che:
- ogni matrice è congruente a se stessa;
- se è congruente a 
, allora è congruente ad ;
- se è congruente a e è congruente a 
, allora è congruente a .
2) La congruenza tra matrici si studia solitamente per le matrici simmetriche. In particolare, se sono due matrici quadrate simmetriche a coefficienti reali, una condizione necessaria e sufficiente affinché due matrici simmetriche siano congruenti è che abbiano la stessa segnatura.
Esempio
Stabilire se
![A = [1 0 0 ; 0 2 0 ; 0 0 −1] ; B = [1 0 0 ; 0 8 4 ; 0 4 −2]](/images/joomlatex/8/d/8dfa362dc0e18eee9840ae9dfcc8f58b.gif)
sono matrici congruenti.
sono matrici simmetriche a coefficienti reali, dunque per verificare se sono congruenti è sufficiente calcolare la rispettiva segnatura.
è una matrice diagonale, quindi i suoi autovalori sono gli elementi della diagonale principale. Due di essi sono positivi e uno è negativo, ragion per cui la segnatura di è
Per trovare la segnatura della matrice calcoliamo dapprima il suo polinomio caratteristico
![p_B(λ) = det(B−λ Id_3) = det[1−λ 0 0 ; 0 8−λ 4 ; 0 4 −2−λ]](/images/joomlatex/a/c/acbd8f27b78930abede021e68bc95808.gif)
Per il calcolo del determinante usiamo la regola di Laplace sviluppando i calcoli rispetto alla prima riga (o alla prima colonna)
![p_B(λ) = (1−λ)[(8−λ)(−2−λ)−16] = ..conti.. = −λ^3+7λ^2+26λ−32](/images/joomlatex/9/a/9ac6076e77a9b5bda829a0db4a780245.gif)
Il risultato è un polinomio completo e ordinato secondo le potenze decrescenti di 
. Per calcolare il segno delle radici, e quindi il segno degli autovalori, ricorriamo alla regola di Cartesio.
Tra i coefficienti successivi di 
vi sono due variazioni e una permanenza di segno, quindi due autovalori sono positivi e uno è negativo. Ciò basta per concludere che la segnatura della matrice è, anch'essa
Le due matrici sono allora congruenti.
Congruenza tra matrici in campo complesso
Se sono matrici definite in campo complesso, si è soliti dare una definizione di matrici congruenti differente, ma solo all'apparenza. Secondo questa definizione, 
sono matrici congruenti se e solo se esiste una matrice invertibile tale che 
, dove 
è la trasposta della matrice complessa coniugata associata a . In formule
Tale definizione è quella più generale possibile e può essere usata sia in campo reale che in campo complesso. Se una matrice è a coefficienti reali, infatti, la matrice complessa coniugata coincide con la matrice stessa, quindi 
e si ottiene la definizione di matrici congruenti in campo reale.
Matrici congruenti e prodotti scalari
Il concetto di matrici congruenti è usato nello studio dei prodotti scalari, a cui sono associate matrici simmetriche.
In particolare, si dimostra che matrici associate allo stesso prodotto scalare rispetto a basi distinte sono matrici congruenti.
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