Matrici congruenti

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Matrici congruenti #24702

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Punto
Come si definiscono le matrici congruenti? Oltre alla definizione potreste mostrarmi un esempio e spiegarmi come si studia la congruenza tra matrici?
 
 

Matrici congruenti #24704

avt
Omega
Amministratore
Due matrici quadrate A \mbox{ e } B di ordine n si dicono matrici congruenti se esiste una matrice invertibile P (anch'essa di ordine n) tale che il prodotto tra la trasposta di P e le matrici B \mbox{ e } P si ottiene A.

A, B \in Mat(n,n,\mathbb{R}) \mbox{ congruenti}\\ \\ \iff \exists P \in GL(n,\mathbb{R}) \mbox{ t.c. } A=P^T B P

Nella precedente formula, Mat(n,n,\mathbb{R}) indica lo spazio delle matrici quadrate a elementi nel campo \mathbb{R} dei numeri reali; GL(n,\mathbb{R}) è il gruppo generale lineare, formato dalle matrici invertibili di ordine n, e P^T è la trasposta della matrice P.

Esempi

1) Ogni matrice è congruente a se stessa.

Basta infatti osservare che se A è una matrice quadrata di ordine n, allora la matrice invertibile P che soddisfa la relazione A=P^TAP è la matrice identità di ordine n.

2) A=\begin{pmatrix}16&24 \\ 21&36\end{pmatrix} \ \ ;\ \ B=\begin{pmatrix}2&0 \\ -1&4\end{pmatrix}

sono matrici congruenti.

Se consideriamo la matrice

P=\begin{pmatrix}1&2 \\ 0&3\end{pmatrix}

allora

\\ P^TBP=\begin{pmatrix}1&2 \\ 0&3\end{pmatrix}^T \begin{pmatrix}2&0 \\ -1&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2 \\ 0&3\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = \begin{pmatrix}1&0 \\ 2&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&0 \\ -1&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2 \\ 0&3\end{pmatrix} = \\ \\ \\ =\mbox{..conti..}=\begin{pmatrix}16&24 \\ 21&36\end{pmatrix}=A

Osservazioni

1) La congruenza tra matrici è una relazione d'equivalenza tra matrici quadrate dello stesso ordine. Si può infatti dimostrare facilmente che:

- ogni matrice è congruente a se stessa;

- se A è congruente a B, allora B è congruente ad A;

- se A è congruente a B e B è congruente a C, allora A è congruente a C.

2) La congruenza tra matrici si studia solitamente per le matrici simmetriche. In particolare, se A \mbox{ e } B sono due matrici quadrate simmetriche a coefficienti reali, una condizione necessaria e sufficiente affinché due matrici simmetriche siano congruenti è che abbiano la stessa segnatura.

Esempio

Stabilire se

A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}\ \ ;\ \ B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 4 \\ 0 & 4 & -2\end{pmatrix}

sono matrici congruenti.

A \mbox{ e } B sono matrici simmetriche a coefficienti reali, dunque per verificare se sono congruenti è sufficiente calcolare la rispettiva segnatura.

A è una matrice diagonale, quindi i suoi autovalori sono gli elementi della diagonale principale. Due di essi sono positivi e uno è negativo, ragion per cui la segnatura di A è

(2,1,0)

Per trovare la segnatura della matrice B calcoliamo dapprima il suo polinomio caratteristico

p_B(\lambda)=\mbox{det}(B-\lambda \mbox{Id}_3)=\\ \\ \\ =\mbox{det}\begin{pmatrix}1-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 8-\lambda & 4 \\ 0 & 4 & -2-\lambda\end{pmatrix}

Per il calcolo del determinante usiamo la regola di Laplace sviluppando i calcoli rispetto alla prima riga (o alla prima colonna)

p_B(\lambda)=(1-\lambda)[(8-\lambda)(-2-\lambda)-16] =\\ \\ =\mbox{ ..conti.. } = -\lambda^3+7\lambda^2+26\lambda-32

Il risultato è un polinomio completo e ordinato secondo le potenze decrescenti di \lambda. Per calcolare il segno delle radici, e quindi il segno degli autovalori, ricorriamo alla regola di Cartesio.

Tra i coefficienti successivi di p_B(\lambda) vi sono due variazioni e una permanenza di segno, quindi due autovalori sono positivi e uno è negativo. Ciò basta per concludere che la segnatura della matrice B è, anch'essa

(2,1,0)

Le due matrici sono allora congruenti.

Congruenza tra matrici in campo complesso

Se A \mbox{ e } B sono matrici definite in campo complesso, si è soliti dare una definizione di matrici congruenti differente, ma solo all'apparenza. Secondo questa definizione, A, \ B \in Mat(n,n,\mathbb{C}) sono matrici congruenti se e solo se esiste una matrice invertibile P tale che A=P^HBP, dove P^H è la trasposta della matrice complessa coniugata associata a P. In formule

A, B \in Mat(n,n,\mathbb{C}) \mbox{ congruenti} \\ \\ \iff \exists P \in GL(n,\mathbb{C}) \mbox{ t.c. } A=P^H B P=\overline{P}^T B P

Tale definizione è quella più generale possibile e può essere usata sia in campo reale che in campo complesso. Se una matrice P è a coefficienti reali, infatti, la matrice complessa coniugata coincide con la matrice stessa, quindi \overline{P}^T=P^T e si ottiene la definizione di matrici congruenti in campo reale.

Matrici congruenti e prodotti scalari

Il concetto di matrici congruenti è usato nello studio dei prodotti scalari, a cui sono associate matrici simmetriche.

In particolare, si dimostra che matrici associate allo stesso prodotto scalare rispetto a basi distinte sono matrici congruenti.

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È tutto! Per sapere come si definiscono le matrici simili - click!
Ringraziano: Ness, Galois, TeQuila.
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