Dimostrare una proprietà dei triangoli con i vettori

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Dimostrare una proprietà dei triangoli con i vettori #24641

avt
frascatano
Banned
Vi propongo un esercizio in cui si deve dimostrare che il vettore che ha per estremi i punti medi dei lati di un triangolo è la metà del vettore i cui estremi sono i vertici di un altro lato. Potete mostrarmi come procedere?

Detti M,N i punti medi dei lati AB, AC di un triangolo, dimostrare, mediante operazioni sui vettori, che

\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.
 
 

Dimostrare una proprietà dei triangoli con i vettori #24648

avt
Omega
Amministratore
Disegniamo un triangolo qualsiasi di vertici A,B,C e siano M,N i punti medi dei lati AB, AC.

dimostrare una proprieta dei triangoli con i vettori

Fissiamo un sistema di riferimento Oxy e siano A(x_A,y_A), \ B(x_B,y_C), \ C(x_C,y_C) le coordinate cartesiane dei vertici del triangolo.

Le coordinate cartesiane dei punti medi M,N sono:

\\ M(x_M,y_M) = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \ \frac{y_A+y_B}{2}\right) \\ \\ \\ M(x_N,y_N) = \left(\frac{x_A+x_C}{2}, \ \frac{y_A+y_C}{2}\right)

Calcoliamo le componenti del vettore \overrightarrow{MN} come differenza tra le coordinate di N e quelle di M:

\\ \overrightarrow{MN} = N-M = \\ \\ = \left(\frac{x_A+x_C}{2}, \ \frac{y_A+y_C}{2}\right) - \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \ \frac{y_A+y_B}{2}\right) = \\ \\ \\ = \left(\frac{x_A+x_C}{2} - \frac{x_A+x_B}{2}, \ \frac{y_A+y_C}{2} - \frac{y_A+y_B}{2}\right) = \\ \\ \\ = \left(\frac{x_C-x_B}{2}, \ \frac{y_C-y_B}{2}\right)=

Portiamo il fattore \frac{1}{2} fuori

=\frac{1}{2}(x_C-x_B, \ y_C-y_B)

e osserviamo che, per com'è definita la differenza tra vettori

(x_C-x_B, \ y_C-y_B) = (x_C,y_C) - (x_B, y_B) = C - B = \overrightarrow{BC}

In definitiva:

\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(x_C-x_B, \ y_C-y_B) = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}

e la dimostrazione è conclusa.
Ringraziano: Pi Greco, 21zuclo
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