Stabilire se un insieme di 2 vettori è un sistema di generatori di R^3

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Stabilire se un insieme di 2 vettori è un sistema di generatori di R^3 #23095

avt
Manovra76
Punto
Ho appena concluso lo studio della parte teorica sui sistemi di generatori, e sono già in difficoltà con gli esercizi. Ve ne propongo uno che chiede di stabilire se un insieme di due vettori è un sistema di generatori di \mathbb{R}^3.

Si consideri, in \mathbb{R}^3 il seguente insieme di vettori

\{(1,2,0), \ (2,5,-2)\}

e si dica se è un sistema di generatori.
Ringraziano: xavier310
 
 

Stabilire se un insieme di 2 vettori è un sistema di generatori di R^3 #23099

avt
Omega
Amministratore
Se è noto il concetto di base, e quindi di dimensione di uno spazio vettoriale, l'esercizio si svolge in mezzo secondo: \mathbb{R}^3 è uno spazio vettoriale di dimensione 3, dunque non può essere generato da un insieme formato da soli due vettori.

Tuttavia, quello sui sistema di generatori è un argomento che si affronta prima di introdurre la nozione di base di uno spazio vettoriale, per cui vediamo come risolvere l'esercizio con la definizione di sistema di generatori.

I vettori

\mathbf{v}_1=(1,2,0) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_2=(2,5,-2)

costituiscono un sistema di generatori di \mathbb{R}^3 se ogni vettore di \mathbb{R}^3 si può esprimere come combinazione lineare di \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ossia se per ogni \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3) \in \mathbb{R}^3 esistono a_1, a_2 \in \mathbb{R} tali che

a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 = \mathbf{w}

Sostituiamo i vettori con le relative componenti

a_1 (1,2,0) + a_2 (2,5,-2) = (w_1,w_2,w_3)

Svolgiamo le operazioni a primo membro

\\ (a_1, 2a_1, 0) + (2a_2, 5a_2, -2a_2) = (w_1, w_2, w_3) \\ \\ (a_1+2a_2, \ 2a_1+5a_2, \ -2a_2) = (w_1, w_2, w_3)

e uguagliamo le componenti che occupano la stessa posizione, così da ottenere un sistema lineare parametrico nelle incognite a_1, a_2

\begin{cases}a_1+2a_2=w_1 \\ 2a_1+5a_2=w_2 \\ -2a_2=w_2\end{cases}

Affinché \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\} sia un sistema di generatori di \mathbb{R}^3, questo sistema deve ammettere soluzione, cioè deve essere compatibile, qualsiasi siano i valori assunti da w_1, w_2, w_3.

Le matrici a esso associate sono

A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & 5 \\ 0 & -2\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ (A|\mathbf{b})=\left(\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 5 \\ 0 & -2\end{matrix}\right|\left\begin{matrix}w_1 \\ w_2 \\ w_3\end{matrix}\right)

e, per il teorema di Rouché Capelli, il sistema è compatibile se e solo se le due matrici hanno lo stesso rango.

Ora, il rango di A è 2, mentre esistono valori di w_1, w_2, w_3 tali per cui il rango di (A|\mathbf{b}) è 3. Basta prendere, ad esempio, (w_1,w_2,w_3)=(1,0,0) e osservare che la matrice

\left(\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 5 \\ 0 & -2\end{matrix}\right|\left\begin{matrix}w_1 \\ w_2 \\ w_3\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 5 \\ 0 & -2\end{matrix}\right|\left\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0\end{matrix}\right)

ha determinante diverso da zero, e quindi ha rango pari a 3.

Per quanto detto in precedenza, l'insieme \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\} non è un sistema di generatori di \mathbb{R}^3, e abbiamo finito.
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Os