Parametri direttori di un piano e equazione cartesiana dalla forma parametrica

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Parametri direttori di un piano e equazione cartesiana dalla forma parametrica #2288

avt
giacomo22
Frattale
Ho iniziato da poco lo studio dei piani nello spazio e già riscontro alcune difficoltà nella risoluzione di un esercizio in cui mi viene chiesto di scrivere l'equazione cartesiana di un piano a partire da una sua rappresentazione parametrica. Inoltre devo scrivere il vettore dei coefficienti direttori del piano.

Scrivere l'equazione cartesiana del piano \pi a partire dalla sua rappresentazione parametrica:

\pi:\ \begin{cases}x=1+s+2t\\ y=3+s-t\\ z=1-s-t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ s,t\in\mathbb{R}

e ricavare in seguito il vettore dei coefficienti direttori di \pi associato.
 
 

Parametri direttori di un piano e equazione cartesiana dalla forma parametrica #2321

avt
Ifrit
Amministratore
L'esercizio fornisce la seguente rappresentazione parametrica del piano

\pi:\ \begin{cases}x=1+s+2t\\ y=3+s-t\\ z=1-s-t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ s,t\in\mathbb{R}

da cui possiamo ricavare l'equazione cartesiana avvalendoci del cosiddetto metodo di cancellazione dei parametri.

Esso consiste nell'effettuare delle opportune sostituzioni facendo in modo che almeno una tra le equazioni parametriche sia priva delle variabili s \ \mbox{e} \ t, divenendo di fatto l'equazione cartesiana di \pi.
Dalla prima relazione di

\begin{cases}x=1+s+2t\\ y=3+s-t\\ z=1-s-t\end{cases}

isoliamo s al primo membro e sostituiamo nelle altre l'espressione che ne consegue

\begin{cases}s=x-1-2t\\ y=3+(x-1-2t)-t\\ z=1-(x-1-2t)-t\end{cases}\ \ \to \ \ \begin{cases}s=x-1-2t\\ y=x-3t+2\\ z=2+t-x\end{cases}

Usiamo la terza relazione per isolare t al primo membro, dopodiché sostituiamo nelle altre equazioni

\begin{cases}s=x-1-2(z+x-2)\\ y=x-3(z+x-2)+2\\ t=z+x-2\end{cases}\ \ \to \ \ \begin{cases}s=3-x-2z\\ y=-2x-3z+8\\ t=z+x-2\end{cases}

Abbiamo praticamente finito! Osserviamo infatti che nella seconda equazioni figurano esclusivamente le incognite x,y,z per cui

\pi:\ y=-2x-3z+8\ \ \to \ \ 2x+y+3z-8=0

è l'equazione del piano in forma cartesiana.

Il secondo punto del problema ci chiede di determinare i coefficienti direttori del piano che per definizione coincidono con i coefficienti delle incognite a=2,\ b=1, \c=3 e costituiscono il vettore:

\mathbf{n}=(2,1,3)

il quale individua la direzione ortogonale a \pi.
Ecco fatto!
Ringraziano: Omega
  • Pagina:
  • 1
Os