Piano ortogonale alla retta r passante per il punto A

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Piano ortogonale alla retta r passante per il punto A #21893

avt
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Punto
In un esercizio devo trovare il piano ortogonale ad una retta e passante per un punto: se la retta è espressa in forma parametrica, in che modo dovrei procedere?

Siano dati la retta r di equazioni parametriche

r: x = 1-t ; y = t ; z = 1+t con t∈R

e il punto A(0,1,0). Determinare l'equazione del piano ortogonale a r passante per A.

Grazie!
 
 

Piano ortogonale alla retta r passante per il punto A #21939

avt
Omega
Amministratore
Il testo dell'esercizio ci chiede di determinare l'equazione del piano ortogonale alla retta r di cui conosciamo le equazioni parametriche:

r: x = 1-t ; y = t ; z = 1+t con t∈R

A questo proposito consideriamo la generica equazione cartesiana del piano

π: ax+by+cz+d = 0

il cui vettore dei coefficienti direttori è

n_(π) = (a,b,c)

il quale individua la direzione ortogonale a π.

Dalla rappresentazione parametrica della retta siamo in grado di dedurre un vettore che ne individua la direzione: basta considerare la tripla composta dai coefficienti che moltiplicano il parametro libero, vale a dire

v_(r) = (l,m,n) = (-1,1,1)

Affinché retta e piano siano perpendicolari, dobbiamo richiedere che n_(π) sia proporzionale a v_(r)

n_(π) = α ,v_(r) con α∈R-0

Se scegliamo α = 1, questa relazione si tramuta nell'uguaglianza

n_(π) = v_(r) = (-1,1,1)

Sostituendo a = -1,b = 1,c = 1 nell'equazione del piano, otteniamo

π: -x+y+z+d = 0

Abbiamo quasi finito: ci manca esclusivamente il valore da attribuire al termine noto d che possiamo determinare imponendo la condizione di passaggio per il punto A(0,1,0).

Ricordando che A∈π se e solo se le coordinate di A soddisfano l'equazione di π, scriviamo:

A∈π ⇔ -0+1+0+d = 0 → d = -1

In definitiva, il piano perpendicolare alla retta e passante per A è descritto dall'equazione cartesiana:

π: -x+y+z-1 = 0

È fatta!
Ringraziano: Pi Greco
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Os