Piano ortogonale alla retta r passante per il punto A

In un esercizio devo trovare il piano ortogonale ad una retta e passante per un punto: se la retta è espressa in forma parametrica, in che modo dovrei procedere?

Siano dati la retta di equazioni parametriche



e il punto Determinare l'equazione del piano ortogonale a passante per

Grazie!

Il testo dell'esercizio ci chiede di determinare l'equazione del piano ortogonale alla retta di cui conosciamo le equazioni parametriche:



A questo proposito consideriamo la generica equazione cartesiana del piano



il cui vettore dei coefficienti direttori è



il quale individua la direzione ortogonale a .

Dalla rappresentazione parametrica della retta siamo in grado di dedurre un vettore che ne individua la direzione: basta considerare la tripla composta dai coefficienti che moltiplicano il parametro libero, vale a dire



Affinché retta e piano siano perpendicolari, dobbiamo richiedere che sia proporzionale a



Se scegliamo , questa relazione si tramuta nell'uguaglianza



Sostituendo nell'equazione del piano, otteniamo



Abbiamo quasi finito: ci manca esclusivamente il valore da attribuire al termine noto che possiamo determinare imponendo la condizione di passaggio per il punto .

Ricordando che se e solo se le coordinate di soddisfano l'equazione di , scriviamo:



In definitiva, il piano perpendicolare alla retta e passante per è descritto dall'equazione cartesiana:



È fatta!