Stabilire se alcuni vettori costituiscono un sistema di generatori di R^4

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Stabilire se alcuni vettori costituiscono un sistema di generatori di R^4 #21892

avt
federicoverona
Sfera
Chiedo il vostro aiuto per risolvere un esercizio che chiede di stabilire se quattro vettori costituiscono un insieme di generatori dello spazio vettoriale \mathbb{R}^4.

Stabilire se i vettori:

\\ \mathbf{v}_1=(1,-1,0,1) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_2=(1,0,0,0) \\ \\ \mathbf{v}_3=(0,1,0,0) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_4=(1,-1,0,2)

individuano un sistema di generatori di \mathbb{R}^4.
 
 

Stabilire se alcuni vettori costituiscono un sistema di generatori di R^4 #21898

avt
Omega
Amministratore
Un insieme di vettori \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} è un sistema di generatori di uno spazio vettoriale V se ogni \mathbf{w} \in V si può scrivere come combinazione lineare di \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\}.

Premesso ciò, i vettori

\\ \mathbf{v}_1=(1,-1,0,1) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_2=(1,0,0,0) \\ \\ \mathbf{v}_3=(0,1,0,0) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{v}_4=(1,-1,0,2)

individuano un sistema di generatori di \mathbb{R}^4 se per ogni \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3,w_4) \in \mathbb{R}^4 esistono a_1,a_2,a_3,a_4 \in \mathbb{R} tali che

a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+a_3\mathbf{v}_3+a_4\mathbf{v}_4=\mathbf{w}

Sostituiamo i vettori della combinazione lineare con le rispettive componenti

a_1(1,-1,0,1)+a_2(1,0,0,0)+a_3(0,1,0,0)+a_4(1,-1,0,2)=(w_1,w_2,w_3,w_4)

Svolgiamo i prodotti scalare-vettore

(a_1,-a_1,0,a_1)+(a_2,0,0,0)+(0,a_3,0,0)+(a_4,-a_4,0,2a_4)=(w_1,w_2,w_3,w_4)

e calcoliamo la somma vettoriale

(a_1+a_2+a_4, \ -a_1+a_3-a_4, \ 0, \ a_1+2a_4)=(w_1,w_2,w_3,w_4)

Imponiamo che le componenti che occupano la stessa posizione siano uguali, così da ottenere un sistema lineare parametrico nelle incognite a_1, a_2, a_3, a_4:

\begin{cases}a_1+a_2+a_4=w_1 \\ -a_1+a_3-a_4=w_2 \\ 0=w_3 \\ a_1+2a_4=w_4\end{cases}

Se il sistema ammette soluzione per ogni w_1,w_2,w_3,w_4 \in \mathbb{R}, allora \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4\} è un sistema di generatori.

Senza fare nulla, ma solo osservando che la terza equazione del sistema, possiamo concludere che \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4\} non è un sistema di generatori, infatti da tale equazione abbiamo

w_3=0

il che vuol dire che qualsiasi vettore di \mathbb{R}^4 che non abbia la terza componente nulla, non può essere scritto come combinazione lineare di \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4.

Fine!
Ringraziano: federicoverona
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Os