Prodotto scalare definito positivo, norma indotta e normalizzazione di un vettore

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Prodotto scalare definito positivo, norma indotta e normalizzazione di un vettore #19602

avt
revictor
Banned
Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere un esercizio che chiede di verificare che un prodotto scalare è definito positivo, di determinare la norma indotta e di normalizzare un vettore.

Sia \langle \ , \ \rangle il prodotto scalare su \mathbb{R}^2 definito da

\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = 2x_1y_1-x_1y_2-x_2y_1+3x_2y_2

Dopo aver verificato che è definito positivo, esplicitare la norma indotta e normalizzare il vettore \mathbf{v}=(1,1).
 
 

Prodotto scalare definito positivo, norma indotta e normalizzazione di un vettore #19649

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo il seguente prodotto scalare su \mathbb{R}^2

\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = 2x_1y_1-x_1y_2-x_2y_1+3x_2y_2

e, come richiesto dall'esercizio, verifichiamo che è definito positivo, esplicitiamo la norma indotta e normalizziamo il vettore \mathbf{v}=(1,1).


Verifica definita positività

Per un noto teorema, un prodotto scalare è definito positivo se e solo gli autovalori di una delle matrici rappresentative sono positivi.

La matrice associata al prodotto scalare in esame rispetto alla base canonica di \mathbb{R}^2 è

A=\begin{pmatrix}2 & -1 \\ -1 & 3\end{pmatrix}

Calcoliamone il polinomio caratteristico, le cui radici sono gli autovalori di A.

\\ p_A(\lambda) = \mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_2) = \\ \\ = \mbox{det}\begin{pmatrix}2-\lambda & -1 \\ -1 & 3-\lambda\end{pmatrix} = (2-\lambda)(3-\lambda)-1= \\ \\ = \lambda^2-5\lambda+5

Poiché A è una matrice simmetrica, gli zeri di p_A(\lambda) sono reali, per cui possiamo applicare la regola di Cartesio.

p_A(\lambda) è un polinomio completo di grado due, dunque non ha radice nulle. Tra un coefficiente e il successivo vi sono due variazioni di segno, di conseguenza i due autovalori di A sono positivi e il prodotto scalare è definito positivo.


Norma indotta dal prodotto scalare

La norma indotta dal prodotto scalare \langle \ , \ \rangle è quell'applicazione da \mathbb{R}^2 a \mathbb{R}^+ \cup \{0\}

|| \cdot || : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^+ \cup \{0\}

che a ogni vettore \mathbf{v} \in \mathbb{R}^2 associa il numero reale ottenuto dalla radice quadrata del prodotto scalare di \mathbf{v} con se stesso, ossia

||\mathbf{v}|| = \sqrt{\langle \mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle}

In definitiva, se \mathbf{v}=(v_1,v_2) \in \mathbb{R}^2, allora

\\ ||\mathbf{v}|| = \sqrt{\langle \mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle} = \sqrt{\langle (v_1,v_2),(v_1,v_2)\rangle} = \\ \\ = \sqrt{2v_1v_1-v_1v_2-v_2v_1+3v_2v_2} = \\ \\ = \sqrt{2v_1^2-2v_1v_2+3v_2^2}


Normalizzazione del vettore \mathbf{v}=(1,1)

In generale, normalizzare un vettore non nullo \mathbf{v} vuol dire determinare un vettore \mathbf{u} che abbia norma 1 e che dipenda linearmente da \mathbf{v}. Si dimostra che:

\mathbf{u}=\frac{1}{||\mathbf{v}||} \ \mathbf{v}

Alla luce di ciò, per normalizzare il vettore \mathbf{v}=(1,1) calcoliamone la norma:

||\mathbf{v}|| = \sqrt{2v_1^2-2v_1v_2+3v_2^2} =

poiché v_1=v_2=1

\\ =\sqrt{2 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1^2} = \\ \\ = \sqrt{2-2+3} = \sqrt{3}

Il vettore normalizzato \mathbf{u} si ottiene moltiplicando \mathbf{v} per il reciproco della norma, ossia

\mathbf{u}=\frac{1}{||\mathbf{v}||} \ \mathbf{v} = \frac{1}{\sqrt{3}} (1,1) = \left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)

Fine!
  • Pagina:
  • 1
Os