Normalizzazione di un vettore rispetto a un prodotto scalare definito da una matrice

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Normalizzazione di un vettore rispetto a un prodotto scalare definito da una matrice #19056

avt
matteo
Sfera
Come si normalizza un vettore rispetto a un prodotto scalare definito da una matrice? Conosco la matrice associata a un prodotto scalare su \mathbb{R}^4 e dovrei normalizzare tre vettori, ma non mi è chiaro come procedere.

Normalizzare i vettori

\mathbf{v}_1=(1,1,1,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(-1,0,2,-2) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=\left(2,3\sqrt{2},0,\sqrt{3}\right)

rispetto al prodotto scalare \langle \ ,\ \rangle su \mathbb{R}^4 la cui matrice associata rispetto alla base canonica è:

A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 3\end{pmatrix}
 
 

Normalizzazione di un vettore rispetto a un prodotto scalare definito da una matrice #19066

avt
Omega
Amministratore
È noto che \langle \ ,\ \rangle è un prodotto scalare su \mathbb{R}^4 la cui matrice associata rispetto alla base canonica è:

A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 3\end{pmatrix}

Ci viene chiesto di normalizzare i vettori

\mathbf{v}_1=(1,1,1,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(-1,0,2,-2) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=\left(2,3\sqrt{2},0,\sqrt{3}\right)


Forma esplicita del prodotto scalare

Come prima cosa troviamo la forma esplicita del prodotto scalare. Siano

\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix} \ \ ; \ \ \mathbf{y}=\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4\end{pmatrix}

due vettori di \mathbb{R}^4 le cui componenti sono riferite alla base canonica di \mathbb{R}^4. Allora:

\\ \langle \mathbf{x} , \mathbf{y} \rangle = \mathbf{x}^T A \mathbf{y} = \\ \\ = \begin{pmatrix}x_1 & x_2 & x_3 & x_4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4\end{pmatrix}=

svolgiamo il prodotto riga per colonna tra le prime due matrici

= \begin{pmatrix}x_1 & 2x_2-x_3 & -x_2+x_3-x_4 & -x_3+3x_4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4\end{pmatrix}=

svolgiamo quest'ultimo prodotto matriciale

\\ =x_1y_1+(2x_2-x_3)y_2 + (-x_2+x_3-x_4)y_3 + (-x_3+3x_4)y_4= \\ \\ = x_1y_1+2x_2y_2-x_3y_2-x_2y_3+x_3y_3-x_4y_3-x_3y_4+3x_4y_4

In definitiva:

\langle \mathbf{x} , \mathbf{y} \rangle = x_1y_1+2x_2y_2-x_3y_2-x_2y_3+x_3y_3-x_4y_3-x_3y_4+3x_4y_4


Normalizzazione di un vettore

La normalizzazione di un vettore \mathbf{v} \neq \mathbf{0} di uno spazio vettoriale V, rispetto a un prodotto scalare definito positivo su V, è una procedura che permette di passare da \mathbf{v} a un altro vettore \mathbf{u}\in V tale che:

- la norma di \mathbf{u} è pari a 1;

- \mathbf{u}, \mathbf{v} sono linearmente dipendenti.

Si dimostra che un vettore che soddisfa queste due condizioni è:

\mathbf{u}=\frac{1}{||\mathbf{v}||} \ \mathbf{v}

pertanto per normalizzare un vettore è sufficiente moltiplicarlo per il reciproco della sua norma.

Per poter definire la norma indotta da un prodotto scalare \langle \ , \ \rangle è necessario che \langle \ , \ \rangle sia definito positivo, ossia che gli autovalori di una delle matrici a esso associate siano positivi.

Nel nostro caso, conosciamo la matrice associata al prodotto scalare rispetto alla base canonica:

A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 3\end{pmatrix}

Il suo polinomio caratteristico è

\\ p_A(\lambda)=\mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_4) = \\ \\ = \mbox{det}\begin{pmatrix}1-\lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2-\lambda & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1-\lambda & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 3-\lambda\end{pmatrix}=

calcolando il determinante con uno sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga

=\lambda^4-7\lambda^3+15\lambda^2-10\lambda+1

p_A(\lambda) è un polinomio di grado 4, a coefficienti reali, con tutte le radici reali e con termine noto diverso da zero. Inoltre, tra un coefficiente e il successivo vi sono, in tutto, quattro variazioni di segno: per la regola di Cartesio le sue radici sono tutte positive.

Da ciò segue che gli autovalori di A sono positivi, dunque \langle \ , \ \rangle è definito positivo e possiamo definire la norma da esso indotta.

Per definizione di norma, se \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3,v_4) è un vettore di \mathbb{R}^4, allora:

\\ ||\mathbf{v}|| = \sqrt{\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle} = \\ \\ = \sqrt{\langle (v_1,v_2,v_3,v_4), (v_1,v_2,v_3,v_4) \rangle} =

per com'è definito il prodotto scalare

\\ = \sqrt{v_1v_1+2v_2v_2-v_3v_2-v_2v_3+v_3v_3-v_4v_3-v_3v_4+3v_4v_4} = \\ \\ = \sqrt{v_1^2+2v_2^2 -2v_2v_3+v_3^2-2v_3v_4+3v_4^2}

Il nostro intento è quello di normalizzare i vettori

\mathbf{v}_1=(1,1,1,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(-1,0,2,-2) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=\left(2,3\sqrt{2},0,\sqrt{3}\right)

Calcoliamo le loro norme:

\\ ||\mathbf{v}_1|| = ||(1,1,1,1)|| = \\ \\ = \sqrt{1^2+2 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1^2} = \\ \\ = \sqrt{1+2-2+1-2+3} = \sqrt{3}

Analogamente

\\ ||\mathbf{v}_2|| = ||(-1,0,2,-2)|| = \\ \\ = \sqrt{(-1)^2+2 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 \cdot 2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot (-2) + 3 \cdot (-2)^2} = \\ \\ = \sqrt{1+4+8+12} = \sqrt{25}=5

e, infine:

\\ ||\mathbf{v}_3|| = \left|\left|\left(2,3\sqrt{2},0,\sqrt{3}\right)\right|\right| = \\ \\ = \sqrt{2^2+2 \cdot \left(3\sqrt{2}\right)^2 - 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 0 + 0^2 - 2 \cdot 0 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot \left(\sqrt{3}\right)^2} = \\ \\ = \sqrt{4+36+9} = \sqrt{49}=7

Normalizziamo \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 dividendo ogni vettore per la rispettiva norma:

\\ \bullet \ \ \mathbf{u}_1 = \frac{\mathbf{v}_1}{||\mathbf{v}_1||} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1,1) = \\ \\ \\ = \left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \\ \\ \\ \bullet \ \ \mathbf{u}_2 = \frac{\mathbf{v}_2}{||\mathbf{v}_2||} = \frac{1}{5}(-1,0,2,-2) = \\ \\ \\ = \left(-\frac{1}{5}, 0, \frac{2}{5}, -\frac{2}{5}\right) \\ \\ \\ \bullet \ \ \mathbf{u}_3 = \frac{\mathbf{v}_3}{||\mathbf{v}_3||} = \frac{1}{7}\left(2,3\sqrt{2},0,\sqrt{3}\right) = \\ \\ \\ = \left(\frac{2}{7},\frac{3\sqrt{2}}{7},0,\frac{\sqrt{3}}{7}\right)

Abbiamo terminato!
Ringraziano: Ifrit, matteo
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Os