Immagine di una matrice

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Immagine di una matrice #18802

  • xeltonx
  • avt
  • Banned
Ciao a tutti? Non mi è molto chiaro il concetto di immagine di una matrice....potete per favore chiarirmi un po' le idee?

Ecco le mie domande sull'immagine di una matrice in generale:

- come potrei procedere al calcolo della dimensione dell'immagine della matrice?

- come è legata la dimensione del nucleo alla dimensione dell'immagine della matrice?

- per immagine di una matrice si intende la base?

Vi ringrazio in anticipo per i chiarimenti =)

 
 
 

Immagine di una matrice #18822

  • Omega
  • avt
  • Amministratore
Ciao Xeltonx emt

xeltonx ha scritto:
Ciao a tutti? Non mi è molto chiaro il concetto di immagine di una matrice....potete per favore chiarirmi un po le idee?


Premessa: dire "immagine di una matrice" o "immagine di un'applicazione lineare" è la stessa cosa, a patto di precisare che la matrice è associata all'applicazione lineare rispetto ad una determinata base, o ancora che l'applicazione lineare è definita attraverso la matrice. (E' lo stesso, dipende da cosa abbiamo in partenza: a te interessa il discorso da un punto di vista matriciale, quindi quando nel seguito parlerò di "applicazione lineare" farò riferimento all'applicazione lineare definita mediante la matrice).

Riporto solo alcuni degli N link in cui trattiamo l'argomento

Definizione di immagine di una applicazione lineare - click!

Dimensione e base dell'immagine di un omomorfismo - click!

Alcune domande su (nucleo e) immagine di una applicazione lineare - click!

L'immagine di un'applicazione lineare è un sottospazio del codominio - click!

Come potrei procedere al calcolo della dimensione dell'immagine?


Il rango di una matrice è la dimensione del sottospazio generato dai vettori colonna della matrice. Ci sono comunque altre definizioni di rango, del tutto equivalenti, che trovi qui.

Come si calcola il rango di una matrice? Così.

Il sottospazio generato dai vettori colonna della matrice è l'immagine della matrice.

La dimensione dell'immagine è il rango (per colonne o per righe poco importa, perché tanto coincidono).

Esercizi su dimensione e base dell'immagine di un'applicazione lineare: ricerca in YM, query "immagine applicazione lineare", oppure "dimensione immagine", oppure "base immagine".

Come è legata la dimensione del nucleo alla dimensione dell'immagine?


La risposta è data dal teorema della Nullità più Rango, noto anche come teorema delle Dimensioni.

[Nel link l'utente aveva domandato, usando erroneamente il titolo "teorema delle Dimensioni", di un altro teorema: anche se l'enunciato presente nella sua domanda riguarda un altro teorema, nella mia risposta fornisco la dimostrazione che riguarda il teorema della Nullità più Rango - che poi è quello che ti interessa].

Esempi di esercizi: ricerca in YM, query "teorema della nullità più rango". emt


per immagine si intende la base?


No, ma la risposta è già presente nelle righe precedenti emt

Ringraziano: Pi Greco, xeltonx
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Os