Matrice come somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica

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Matrice come somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica #1729

avt
xavier310
Sfera
Salve. Potreste aiutarmi con questo risultato riguardante le matrici quadrate?

Ogni matrice A puo' essere espressa come somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica.

Potete farmi un esempio con una matrice di ordine 3?

Come calcolare le matrici simmetrica e antisimmetrica che decompongono la matrice data in somma?
 
 

Matrice come somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica #1738

avt
Ifrit
Amministratore
MA COME?! emt E qui di cosa abbiamo parlato?

Consideriamo una matrice M, siffatta:

M= \left[\begin{matrix}1 & 5 & 7\\ 3 & 1 & 3\\ 1 & 3 & 9\end{matrix}\right]


La matrice simmetrica S è data da:

S= \frac{M+M^t}{2}


mentre la matrice antisimmetrica è data da:

A= \frac{M-M^t}{2}


Quindi abbiamo bisogno della trasposta di M che è:

M^t= \left[\begin{matrix}1 & 3 & 1\\5 & 1 & 3\\ 7 & 3 & 9\end{matrix}\right]


Calcoliamo la somma tra M e Mt
M+M^t=\left[\begin{matrix}2 & 8 & 8\\ 8 & 2 & 6\\8 & 6 &18 \end{matrix}\right]


Di conseguenza:

S=\frac{M+M^t}{2}=\left[\begin{matrix}1 & 4 & 4\\ 4 & 1 & 3\\ 4 & 3 & 9 \end{matrix}\right]


Calcoliamo ora la differenza tra le matrici

M-M^t=\left[\begin{matrix}0 & 2 & 6\\ -2 & 0 & 0\\ -6 & 0 & 0 \end{matrix}\right]


Di conseguenza:

A=\frac{M-M^t}{2}=\left[\begin{matrix}0 & 1 & 3\\ -1 & 0 & 0\\ -3 & 0 & 0 \end{matrix}\right]


Facendo i conti è chiaro che M=S+A

emt
Ringraziano: Omega, frank094, xavier310

Matrice come somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica #1817

avt
xavier310
Sfera
Domanda: Si può sapere a priori la dimensione della matrice simmetrica e antisimmetrica di una qualsiasi matrice? Cioè non facendo tutti i calcoli, ma valutando altri dati più immediati collegati alle caratteristiche di matrice simmetrica e antisimmetrica?

Matrice come somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica #1960

avt
Ifrit
Amministratore
xavier310 ha scritto:
Domanda: Si può sapere a priori la dimensione della matrice simmetrica e antisimmetrica di una qualsiasi matrice? Cioè non facendo tutti i calcoli, ma valutando altri dati più immediati collegati alle caratteristiche di matrice simmetrica e antisimmetrica?


Se per dimensioni intendi ordine la risposta è certo! Se la matrice M ha ordine n allora anche le matrici S e A hanno ordine n.

Se per dimensione intendi la dimensione dei sottospazi delle matrici simmetriche e antisimmetrichè la risposta è certo!

M_n(\mathbb{R})=U\oplus W


Sappiamo che:

\mbox{dim }M_n(\mathbb{R})=n^2,

\mbox{dim }U= \frac{n(n+1)}{2}

\mbox{dim }W= \frac{n(n-1)}{2}

Se ad esempio n=3 allora la dimensione dello spazio vettoriale M_n(\mathbb{R}) è n^2=9

La dimensione del sottospazio U è \frac{n(n+1)}{2}=\frac{3(3+1)}{2}= 6

La dimensione del sottospazio W è \frac{n(n-1)}{2}=\frac{3(3-1)}{2}= 3.
Ringraziano: Omega, frank094, xavier310

Matrice come somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica #2001

avt
xavier310
Sfera
Grazie Ifrit =) tutto chiaro!
Ringraziano: Ifrit
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Os