Verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a traccia nulla sono un sottospazio di M2

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Verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a traccia nulla sono un sottospazio di M2 #1724

avt
xavier310
Sfera
Avrei bisogno di un aiuto nello svolgere un esercizio, in cui devo verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a traccia nulla sono un sottospazio vettoriale.

Verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a elementi reali e a traccia nulla sono un sottospazio vettoriale di Mat(2,2,\mathbb{R}) rispetto alle operazioni di somma tra matrici e di prodotto di una matrice per uno scalare.
 
 

Re: Verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a traccia nulla sono un sottospazio di M2 #1726

avt
Ifrit
Amministratore
La traccia di una matrice è la somma degli elementi della diagonale principale, dunque l'insieme T delle matrici quadrate di ordine 2 a elementi reali e a traccia nulla è così definito:

T=\left\{\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} \in Mat(2,2,\mathbb{R}) \ | \ a_{11}+a_{22}=0\right\}

Indichiamo con + l'operazione di somma tra matrici e con \cdot il prodotto di uno scalare per una matrice.

Per verificare che T è un sottospazio vettoriale di Mat(2,2,\mathbb{R}) rispetto a queste operazioni, dobbiamo dimostrare che T è chiuso sia rispetto alla somma che rispetto al prodotto.


Chiusura rispetto alla somma

Per provare che T è chiuso rispetto alla somma occorre verificare che per ogni A,B \in T la loro somma appartiene ancora a T.

Siano allora

A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22}\end{pmatrix}

due matrici di T. In quanto tali la loro traccia è nulla, ossia

a_{11}+a_{22}=0 \ \ \ ; \ \ \ b_{11}+b_{22}=0

Calcoliamo la matrice somma

A+B=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22}\end{pmatrix}

La traccia di A+B è zero, infatti

\mbox{tr}(A+B)=a_{11}+b_{11}+a_{22}+b_{22}=

per la proprietà commutativa della somma tra numeri reali

=\underbrace{a_{11}+a_{22}}_{=0}+\underbrace{b_{11}+b_{22}}_{=0} = 0 + 0 = 0

di conseguenza A+B \in T e ciò prova la chiusura di T rispetto alla somma.


Chiusura rispetto al prodotto

Siano \lambda \in \mathbb{R} e

A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} \in T

Il prodotto tra \lambda e A è la matrice

\lambda \cdot A = \lambda \cdot \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\lambda a_{11} & \lambda a_{12} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22}\end{pmatrix}

Calcoliamone la traccia:

\mbox{tr}(\lambda \cdot A) = \lambda a_{11} + \lambda a_{22} = \lambda (a_{11}+a_{22})

La matrice A appartiene a T, pertanto a_{11}+a_{22}=0 e quindi:

\mbox{tr}(\lambda \cdot A) = \lambda (a_{11}+a_{22}) = \lambda 0 = 0

Da ciò deduciamo che la matrice prodotto appartiene a T, cosicché T è chiuso anche rispetto al prodotto matrice-scalare.

Per concludere, T è un sottospazio vettoriale di Mat(2,2,\mathbb{R}).
Ringraziano: Omega, xavier310, Galois, CarFaby, angelad97
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Os