Verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a traccia nulla sono un sottospazio di M2

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Verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a traccia nulla sono un sottospazio di M2 #1724

avt
xavier310
Sfera
Avrei bisogno di un aiuto nello svolgere un esercizio, in cui devo verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a traccia nulla sono un sottospazio vettoriale.

Verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a elementi reali e a traccia nulla sono un sottospazio vettoriale di Mat(2,2,R) rispetto alle operazioni di somma tra matrici e di prodotto di una matrice per uno scalare.
 
 

Re: Verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a traccia nulla sono un sottospazio di M2 #1726

avt
Ifrit
Amministratore
La traccia di una matrice è la somma degli elementi della diagonale principale, dunque l'insieme T delle matrici quadrate di ordine 2 a elementi reali e a traccia nulla è così definito:

T = [a_(11) a_(12) ; a_(21) a_(22)] ∈ Mat(2,2,R) | a_(11)+a_(22) = 0

Indichiamo con + l'operazione di somma tra matrici e con · il prodotto di uno scalare per una matrice.

Per verificare che T è un sottospazio vettoriale di Mat(2,2,R) rispetto a queste operazioni, dobbiamo dimostrare che T è chiuso sia rispetto alla somma che rispetto al prodotto.


Chiusura rispetto alla somma

Per provare che T è chiuso rispetto alla somma occorre verificare che per ogni A,B ∈ T la loro somma appartiene ancora a T.

Siano allora

A = [a_(11) a_(12) ; a_(21) a_(22)] ; B = [b_(11) b_(12) ; b_(21) b_(22)]

due matrici di T. In quanto tali la loro traccia è nulla, ossia

a_(11)+a_(22) = 0 ; b_(11)+b_(22) = 0

Calcoliamo la matrice somma

A+B = [a_(11) a_(12) ; a_(21) a_(22)]+[b_(11) b_(12) ; b_(21) b_(22)] = [a_(11)+b_(11) a_(12)+b_(12) ; a_(21)+b_(21) a_(22)+b_(22)]

La traccia di A+B è zero, infatti

tr(A+B) = a_(11)+b_(11)+a_(22)+b_(22) =

per la proprietà commutativa della somma tra numeri reali

= a_(11)+a_(22) (= 0)+b_(11)+b_(22) (= 0) = 0+0 = 0

di conseguenza A+B ∈ T e ciò prova la chiusura di T rispetto alla somma.


Chiusura rispetto al prodotto

Siano λ ∈ R e

A = [a_(11) a_(12) ; a_(21) a_(22)] ∈ T

Il prodotto tra λ e A è la matrice

λ·A = λ·[a_(11) a_(12) ; a_(21) a_(22)] = [λ a_(11) λ a_(12) ; λ a_(21) λ a_(22)]

Calcoliamone la traccia:

tr(λ·A) = λ a_(11)+λ a_(22) = λ (a_(11)+a_(22))

La matrice A appartiene a T, pertanto a_(11)+a_(22) = 0 e quindi:

tr(λ·A) = λ (a_(11)+a_(22)) = λ 0 = 0

Da ciò deduciamo che la matrice prodotto appartiene a T, cosicché T è chiuso anche rispetto al prodotto matrice-scalare.

Per concludere, T è un sottospazio vettoriale di Mat(2,2,R).
Ringraziano: Omega, xavier310, Galois, CarFaby, angelad97
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Os