Verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a traccia nulla sono un sottospazio di M2

Avrei bisogno di un aiuto nello svolgere un esercizio, in cui devo verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a traccia nulla sono un sottospazio vettoriale.

Verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a elementi reali e a traccia nulla sono un sottospazio vettoriale di rispetto alle operazioni di somma tra matrici e di prodotto di una matrice per uno scalare.

La traccia di una matrice è la somma degli elementi della diagonale principale, dunque l'insieme delle matrici quadrate di ordine 2 a elementi reali e a traccia nulla è così definito:



Indichiamo con l'operazione di somma tra matrici e con il prodotto di uno scalare per una matrice.

Per verificare che è un sottospazio vettoriale di rispetto a queste operazioni, dobbiamo dimostrare che è chiuso sia rispetto alla somma che rispetto al prodotto.


Chiusura rispetto alla somma

Per provare che è chiuso rispetto alla somma occorre verificare che per ogni la loro somma appartiene ancora a .

Siano allora



due matrici di . In quanto tali la loro traccia è nulla, ossia



Calcoliamo la matrice somma



La traccia di è zero, infatti



per la proprietà commutativa della somma tra numeri reali



di conseguenza e ciò prova la chiusura di rispetto alla somma.


Chiusura rispetto al prodotto

Siano e



Il prodotto tra e è la matrice



Calcoliamone la traccia:



La matrice appartiene a , pertanto e quindi:



Da ciò deduciamo che la matrice prodotto appartiene a , cosicché è chiuso anche rispetto al prodotto matrice-scalare.

Per concludere, è un sottospazio vettoriale di .