Verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a traccia nulla sono un sottospazio di M2

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Verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a traccia nulla sono un sottospazio di M2 #1724

avt
xavier310
Sfera
Salve!

Come si è potuto intuire dal titolo avrei bisogno di aiuto nello svolgere questo esercizio, in cui devo verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a traccia nulla sono un sottospazio di M2.

Il testo dell'esercizio dice: verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a traccia nulla sono un sottospazio di M2 e determinarne una base.
 
 

Re: Verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a traccia nulla sono un sottospazio di M2 #1726

avt
Ifrit
Ambasciatore
L'insieme T_0 è il seguente:

T_0=\left\{A\in M_2(\mathbb{R}): \mbox{Tr}(A)=a_{11}+a_{22}=0\right\}


Una matrice appartenente a questo insieme sarà della forma:

A=\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & -a_{11} \end{matrix}\right]


Dimostriamo che è un sottospazio, cioè dobbiamo
1. Mostrare che lo zero dello spazio M_{2}(\mathbb{R}) appartiene a T0

2.dimostrare che è chiuso rispetto
• alla somma tra due matrici: cioè prese due matrici in T0 la loro somma sta ancora in T0

• al prodotto per uno scalare: cioè scelto \lambda\in \mathbb{R}

Cominciamo con 1: Lo "zero" dello spazio vettoriale M_2(\mathbb{R})
è la matrice nulla

\mathbf{0}=\left[\begin{matrix}0 & 0 \\0 & 0 \end{matrix}\right]


che è una matrice 2x2 a coefficienti reali, inoltre la traccia è nulla, quindi appartiene effettivamente a T0. Fatto ciò dobbiamo procedere col dimostrare anche gli altri assiomi:

Chiusura rispetto alla somma:
\forall A, B\in T_0,\quad A+B\in T_0


Dimostrazione: Poiché A, B\in T_0 allora si presenteranno nella forma:

A=\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & -a_{11} \end{matrix}\right]


B=\left[\begin{matrix}b_{11} & b_{12} \\b_{21} & -b_{11} \end{matrix}\right]


La loro somma sarà:

A+B=\left[\begin{matrix}a_{11}+b_{11} &a_{12}+b_{12} \\a_{21}+b_{21} & -a_{11}-b_{11} \end{matrix}\right]


La cui traccia è:

Tr(A+B )= a_{11}+b_{11}+(-a_{11}-b_{11})= 0


La somma appartiene al sottospazio.

Chiusura rispetto al prodotto per uno scalare: Siano \lambda\in \mathbb{R}, A\in T_0\implies \lambda A\in T_0

Come prima:
A=\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & -a_{11} \end{matrix}\right]


ciò implica che

\lambda A=\left[\begin{matrix}\lambda a_{11} & \lambda a_{12} \\ \lambda a_{21} & -\lambda a_{11} \end{matrix}\right]


La traccia è:

\mbox{Tr}(\lambda A)= \lambda a_{11}+ (-\lambda a_{11})= 0


Abbiamo anche la chiusura rispetto al prodotto per uno scalare.

La dimensione del sottospazio è dato dal numero di "vettori" che compongono la base:

B_{T_0}= \left\{\left[\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right]\right\},


La dimensione è quindi 3.

In realtà, potevamo fare a meno di questa tiritera ricordando le proprietà lineari di traccia, ma non sempre vengono spiegate. emt
Ringraziano: Omega, xavier310, angelad97

Re: Verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a traccia nulla sono un sottospazio di M2 #1728

avt
xavier310
Sfera
Non ho niente da chiedere perchè sei stato fin troppo chiaro emt ti ringrazio
Ringraziano: Ifrit

Re: Verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a traccia nulla sono un sottospazio di M2 #25519

avt
dimath
Banned
A questo esercizio :
Come posso trovare il sottospazio ortogonale rispetto al prodotto scalare standard?

Re: Verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a traccia nulla sono un sottospazio di M2 #25520

avt
Omega
Amministratore
Ciao Dimath emt

Puoi portare tutto in \mathbb{R}^4 mediante l'isomorfismo

M_{2}(\mathbb{R})\simeq \mathbb{R}^4

\left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right]\to  \left[\begin{matrix}a \\ b\\ c\\ d \end{matrix}\right]

e lavorare nel modo standard emt
Ringraziano: xavier310, dimath
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Os