Verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a traccia nulla sono un sottospazio di M2

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a traccia nulla sono un sottospazio di M2 #1724

  • xavier310
  • avt
  • Sfera
Salve!

Come si è potuto intuire dal titolo avrei bisogno di aiuto nello svolgere questo esercizio, in cui devo verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a traccia nulla sono un sottospazio di M2.

Il testo dell'esercizio dice: verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a traccia nulla sono un sottospazio di M2 e determinarne una base.
You just couldn't let me go, could you? This is what happens when an unstoppable force meets an immovable object!

 
 
 

Re: Verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a traccia nulla sono un sottospazio di M2 #1726

  • Ifrit
  • avt
  • Ambasciatore
L'insieme T_0 è il seguente:

T_0=\left\{A\in M_2(\mathbb{R}): \mbox{Tr}(A)=a_{11}+a_{22}=0\right\}


Una matrice appartenente a questo insieme sarà della forma:

A=\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & -a_{11} \end{matrix}\right]


Dimostriamo che è un sottospazio, cioè dobbiamo
1. Mostrare che lo zero dello spazio M_{2}(\mathbb{R}) appartiene a T0

2.dimostrare che è chiuso rispetto
• alla somma tra due matrici: cioè prese due matrici in T0 la loro somma sta ancora in T0

• al prodotto per uno scalare: cioè scelto \lambda\in \mathbb{R}

Cominciamo con 1: Lo "zero" dello spazio vettoriale M_2(\mathbb{R})
è la matrice nulla

\mathbf{0}=\left[\begin{matrix}0 & 0 \\0 & 0 \end{matrix}\right]


che è una matrice 2x2 a coefficienti reali, inoltre la traccia è nulla, quindi appartiene effettivamente a T0. Fatto ciò dobbiamo procedere col dimostrare anche gli altri assiomi:

Chiusura rispetto alla somma:
\forall A, B\in T_0,\quad A+B\in T_0


Dimostrazione: Poiché A, B\in T_0 allora si presenteranno nella forma:

A=\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & -a_{11} \end{matrix}\right]


B=\left[\begin{matrix}b_{11} & b_{12} \\b_{21} & -b_{11} \end{matrix}\right]


La loro somma sarà:

A+B=\left[\begin{matrix}a_{11}+b_{11} &a_{12}+b_{12} \\a_{21}+b_{21} & -a_{11}-b_{11} \end{matrix}\right]


La cui traccia è:

Tr(A+B )= a_{11}+b_{11}+(-a_{11}-b_{11})= 0


La somma appartiene al sottospazio.

Chiusura rispetto al prodotto per uno scalare: Siano \lambda\in \mathbb{R}, A\in T_0\implies \lambda A\in T_0

Come prima:
A=\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & -a_{11} \end{matrix}\right]


ciò implica che

\lambda A=\left[\begin{matrix}\lambda a_{11} & \lambda a_{12} \\ \lambda a_{21} & -\lambda a_{11} \end{matrix}\right]


La traccia è:

\mbox{Tr}(\lambda A)= \lambda a_{11}+ (-\lambda a_{11})= 0


Abbiamo anche la chiusura rispetto al prodotto per uno scalare.

La dimensione del sottospazio è dato dal numero di "vettori" che compongono la base:

B_{T_0}= \left\{\left[\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{matrix}\right],\left[\begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right]\right\},


La dimensione è quindi 3.

In realtà, potevamo fare a meno di questa tiritera ricordando le proprietà lineari di traccia, ma non sempre vengono spiegate. emt

Ringraziano: Omega, xavier310, angelad97

Re: Verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a traccia nulla sono un sottospazio di M2 #1728

  • xavier310
  • avt
  • Sfera
Non ho niente da chiedere perchè sei stato fin troppo chiaro emt ti ringrazio
You just couldn't let me go, could you? This is what happens when an unstoppable force meets an immovable object!

Ringraziano: Ifrit

Re: Verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a traccia nulla sono un sottospazio di M2 #25519

  • dimath
  • avt
  • Banned
A questo esercizio :
Come posso trovare il sottospazio ortogonale rispetto al prodotto scalare standard?

Re: Verificare che le matrici quadrate di ordine 2 a traccia nulla sono un sottospazio di M2 #25520

  • Omega
  • avt
  • Amministratore
Ciao Dimath emt

Puoi portare tutto in \mathbb{R}^4 mediante l'isomorfismo

M_{2}(\mathbb{R})\simeq \mathbb{R}^4

\left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\right]\to  \left[\begin{matrix}a \\ b\\ c\\ d \end{matrix}\right]

e lavorare nel modo standard emt

Ringraziano: xavier310, dimath
  • Pagina:
  • 1
Os