Operatori lineari: rotazione, derivazione, trasposizione

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Operatori lineari: rotazione, derivazione, trasposizione #1695

avt
xavier310
Sfera
Buonasera ragazzi, potete descrivermi per quanto possibile i tre operatori lineari: rotazione, derivazione e trasposizione.

Potreste darmi tre esempi per ciascuno di questi operatori lineari con le relative proprietà e caratteristiche?

1) La rotazione R_\theta di angolo \theta in V_0 ^2 dei vettori del piano applicati in 0

2) La derivazione in

R_\le_3 [x] = \left \{ a_0+a_1x+a_2x^2 + a_3x^3; a_i \in \mathbb{R} \right \}

3) La trasposizione T in M_3 (\mathbb{R})

Grazie in anticipo!
 
 

Operatori lineari: rotazione, derivazione, trasposizione #1698

avt
Omega
Amministratore
Che domanda super generica! emt

Potremmo parlarne per un mese...A quali proprietà ti riferisci di preciso?
Ringraziano: xavier310

Operatori lineari: rotazione, derivazione, trasposizione #1700

avt
xavier310
Sfera
Se era possibile individuare le dimensioni, le basi canoniche, se sono invertibili e qual'è la matrice associata emt

Operatori lineari: rotazione, derivazione, trasposizione #1818

avt
xavier310
Sfera
P.S. Solo della rotazione; le caratteristiche degli altri due esempi cerco di arrivarci io analizzando appunto i ragionamenti fatti sulla rotazione emt

Operatori lineari: rotazione, derivazione, trasposizione #1875

avt
Eka
Cerchio
Ciao Xaveir!

In realtà la dimensione delle matrici di rotazione dipende dalla dimensione dello spazio in cui sei... ad esempio, se sei nel piano, una matrice di rotazione è data da una matrice 2x2, nello spazio è una 3x3... (e così via).

La cosa che hanno in comune è che sono tutte matrici ortogonali speciali, cioè che appartengono al gruppo SO(n,\mathbb{R}) (dove n è la dimensione dello spazio in cui sei), cioè hanno sempre determinante uguale a 1.


Sapendo questo (cioè quanto vale il determinante), dovresti poter arrivare a dedurne tutte le altre caratteristiche!

Prova a farlo e scrivere qui il tuo ragionamento, noi ti seguiamo e, se ne hai bisogno, di diamo qualche dritta!
emt
Ringraziano: Omega, xavier310

Operatori lineari: rotazione, derivazione, trasposizione #1879

avt
xavier310
Sfera
Avendo determinante sempre uguale a uno, cioè diverso da zero, la loro dimensione coinciderà sempre con la dimensione dello spazio ambiente. Quindi sarà una trasformazione sempre iniettiva e suriettiva, quindi biunivoca, quindi invertibile, e la sua inversa si potrebbe calcolare con la solita procedura di trovare la trasposta e applicare il metodo di Cramer, affinché AA-1 dia la matrice identità (almeno credo).

Essendo invertibile è possibile applicare un isomorfismo vero? Ma un isomorfismo rispetto ai numeri reali? Quale sarebbe questo isomorfismo?

Inoltre non ho ben capito da dove deriva questa caratteristica di essere matrici ortoganali speciali??

Operatori lineari: rotazione, derivazione, trasposizione #1884

avt
Eka
Cerchio
Allora... giusta la discussione riguardo l'iniettività e la suriettività. Infatti, essendo il determinante diverso da 0, tutte le colonne (e tutte le righe) sono linearmente indipendenti!
Questo vuol dire che il rango è massimo, quindi è suriettiva e che il Ker dell'applicazione è banale e pertanto è iniettiva.

Ora, isomorfismo significa proprio "applicazione lineare iniettiva e suriettiva", dunque invertibile. Dunque la stessa rotazione, associata alla matrice che chiameremo A, è un isomorfismo!


Se vuoi trovare l'isomorfismo inverso, cioè la matrice A-1, puoi applicare il metodo che hai citato!

Inoltre, hai già studiato il teorema spettrale?

Qual è il problema con il fatto che siano matrici ortogonali speciali?


PS: Non ho capito cosa intendi per "isomorfismo rispetto ai numeri reali". emt
Ringraziano: Omega, xavier310

Operatori lineari: rotazione, derivazione, trasposizione #1885

avt
xavier310
Sfera
No ancora non lo abbiamo trattato. Il teorema spettrale credo che il prof lo introdurrà la prossima settimana.

Cioè volevo sapere se la rotazione, oltre che alla sua inversa, poteva essere considerata isomorfa rispeto a qualcos'altro emt

Operatori lineari: rotazione, derivazione, trasposizione #1958

avt
Eka
Cerchio
No, aspetta... la rotazione è un isomorfismo!

Vuol dire che tutte le cose che vengono mappate mediante "lei" sono isomorfe!

Def.: Due elementi si dicono isomorfi se esiste un isomorfismo che mappi uno nell'altro.

Ovviamente, essendo l'isomorfismo invertibile, è ininfluente quale dei due elementi sia il dominio e quale il codominio...

Ad esempio:
- Due qualsiasi rette nel piano sono isomorfe;
- Due qualsiasi circonferenze sono isomorfe;
(e così via...)

Infatti, se consideriamo proprio l'isomorfismo "rotazione", allora la rotazione di una retta è una retta, la rotazione di una circonferenza è ancora una circonferenza...

A dire il vero... la rotazione di un tavolo è ancora un tavolo...

Direi... che puoi stare certo del fatto che la rotazione sia un isomorfismo!

Ora, chiarito questo...
Esistono gli isomorfismi di gruppi
(ebbene sì, non si finisce più... come le scatole cinesi, è un incubo! emt ),
ma sapendo che stai facendo Algebra Lineare, ho pensato che non fosse questa la cosa a cui sei interessato!!

Se mi sbaglio, dimmelo che rimediamo subito! emt
Ringraziano: Omega, frank094, Ifrit, xavier310

Operatori lineari: rotazione, derivazione, trasposizione #2003

avt
xavier310
Sfera
Per il momento ancora non mi è sorta questa domanda =) ne riparliamo in futuro =)=) per il momento almeno ho schiarito meglio le idee sulla rotazione =)
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Os