Vorrei parlare dell'isomorfismo tra spazi vettoriali

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Vorrei parlare dell'isomorfismo tra spazi vettoriali #1622

avt
xavier310
Sfera
Salve, per parlare dell'isomorfismo vorrei partire da questo corollario:

Sia T:V\to W un'applicazione lineare. Se dimV=dimW, allora T è invertibile se e solo se è iniettiva se e solo se è surgettiva

Perchè? Io sapevo che l'una implicava l'altra, mentre in questo caso basta che se ne verifichi una sola?
 
 

Re: Vorrei parlare dell'isomorfismo tra spazi vettoriali #1649

avt
hagrid_ilbotto
Cerchio
In pratica si ha che se le dimensioni sono le stesse, basta verificare che l'applicazione lineare sia iniettiva che automaticamente è anche suriettiva (quindi invertibile), oppure che è suriettiva per avere gratis che è anche iniettiva. Vediamo, dovresti sapere che,detta (e_1,..,e_n) una base di V, allora T è iniettiva se e solo se (T(e_1), .., T(e_n)) sono vettori linearmente indipendenti, mentre T è suriettiva se e solo se i vettori T(e_1), .., T(e_n) generano l'immagine di T. Detto questo il risultato è facile. Supponiamo infatti che T sia iniettiva, allora (T(e_1), .., T(e_n)) sono linearmente indipendenti e sono n, che è anche la dimensione di W, quindi devono essere in particolare una base, per cui generano l'immagine e quindi T è anche suriettiva. Viceversa sia T suriettiva, allora quei vettori generano l'immagine (che in questo caso è tutto W ) ed essendo n devono essere linearmente indipendenti, quindi T è iniettiva.
Ringraziano: Omega, frank094, xavier310

Re: Vorrei parlare dell'isomorfismo tra spazi vettoriali #1655

avt
xavier310
Sfera
Ma la scrittura:" ...se e solo se è iniettiva se e solo se è surgettiva" vuol dire o una o l'altra, cioè tutte e due no, perchè seno cosa cambierebbe dalla scrittura "...se e solo se è iniettiva e surgettiva"?

Re: Vorrei parlare dell'isomorfismo tra spazi vettoriali #1659

avt
hagrid_ilbotto
Cerchio
Allora l'enunciato in pratica ti dà l'equivalenza di quelle condizioni, provo a riscrivertelo, vediamo se riesco a chiarire (o fare più confusione!! emt ):
Sia T lineare da V a W, con dimV=dimW, allora le seguenti condizioni sono equivalenti:
1. T è iniettiva
2. T è suriettiva
3. T è biunivoca (invertibile).

Questo si può anche riscrivere come segue:
(T iniettiva) se e solo se (T suriettiva) se e solo se (T invertibile).

Per quanto riguarda la dimostrazione basta mostrare che T iniettiva implica T suriettiva (il che implica che è anche invertibile perchè è sia iniettiva che suriettiva) così abbiamo dimostrato la catena di implicazioni in una verso (verso destra). Poi bisogna far vedere che T suriettiva implica T iniettiva (e quindi invertibile), che da la catena di implicazioni in verso opposto, ergo tutte quelle condizioni sono equivalenti.
Ringraziano: Omega

Re: Vorrei parlare dell'isomorfismo tra spazi vettoriali #1665

avt
xavier310
Sfera
Ti ringrazio! Non so come farei senza voi di YouMath!
Ringraziano: hagrid_ilbotto

Re: Vorrei parlare dell'isomorfismo tra spazi vettoriali #1672

avt
Omega
Amministratore
@ Hagrid:

Ottimo: dimostrazione veloce, pulita ed efficace! emt

Il titolo del topic non menziona la dimensione degli spazi vettoriali di cui stiamo parlando. Naturalmente come hai ben intuito il buon Xavier si riferisce a spazi vettoriali finito dimensionali.

Supponiamo per un istante che un curiosone di turno googoli e venga fiondato in questa discussione, e che lo stesso medesimo curiosone sia uno studente del terzo anno di Fisica o di Matematica. Supponiamo anche che il curiosone sia oltremodo curioso emt e dia per buono il fatto che vige l'equivalenza tra iniettività e suriettività di applicazioni lineari tra spazi vettoriali et nunc et semper.

Supponiamo per concludere che il curiosone si domandi: "ma è sempre vero, comunque siano gli spazi vettoriali"?...Pongo questa domanda perchè ier l'altro ci stavo pensando da buon Pierino, ma non riuscivo a darmi una risposta...e vedo dal tuo profilo che, in base all'anno di corso che stai frequentando, disponi dei mezzi per rispondere al dubbio sovvenutomi... emt

(Così, giusto per ampliare il topic e rendere la discussione ancora più gustosa di quanto già non sia emt )
Ringraziano: Ifrit, hagrid_ilbotto

Re: Vorrei parlare dell'isomorfismo tra spazi vettoriali #1682

avt
xavier310
Sfera
emt Hai ragione Omega; la prossima volta farò più attenzione a scrivere il titolo del topic. Comunque io sono al primo anno di fisica, cioè è da un mese circa che mi scontro con spazi vettoriali n dimensionali eccetera.
Comunque il concetto è chiaro. Per quanto riguarda la domanda che potrebbe venire spontanea fare, questo tipo di relazione tra iniettività e suriettività si annulla per spazi vettoriali di dimensione infinita giusto?

Re: Vorrei parlare dell'isomorfismo tra spazi vettoriali #1705

avt
Omega
Amministratore
No no il titolo del topic va benissimo! emt

La mia era una risposta/domanda ad Hagrid...
Ringraziano: xavier310

Re: Vorrei parlare dell'isomorfismo tra spazi vettoriali #1707

avt
hagrid_ilbotto
Cerchio
Beh Omega,direi di no. Un controesempio che mi viene è l'operatore di shift su l^1 che è lo spazio vettoriale (volendo di Banach) delle successioni reali assolutamente convergenti. L'operatore è S e agisce così

S(x_1,x_2,..)=(0,x_1,x_2,..). Questo è lineare, iniettivo ma non suriettivo, infatti se le immagini di 2 successioni sono uguali, allora uguagliando termine a termine si vedee che anche le successioni di partenza lo sono (iniettiva) ma nessuna successione che abbia il primo termine diverso da zero appartiene all'immagine, quindi non è suriettivo. Penso che questo dovrebbe andare senza essere troppo complicato
Ringraziano: Omega, frank094, Ifrit, xavier310, danying

Re: Vorrei parlare dell'isomorfismo tra spazi vettoriali #1710

avt
Omega
Amministratore
Ottimo... emt
Ringraziano: xavier310, hagrid_ilbotto
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Os