Formula di Grassmann, dimensione e base dell'intersezione di due sottospazi

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Formula di Grassmann, dimensione e base dell'intersezione di due sottospazi #1598

avt
xavier310
Sfera
Salve. Avrei bisogno di capire queste affermazioni su dimensione e base dell'intersezione di due sottospazi vettoriali, e sulla formula di Grassmann, riportato sul mio libro:

Per trovare dimensione e base di U\cap W dove U e W sono sottospazi di \mathbb{R}^n sia

u_1,...,u_n \subset\mathbb{R}^n

una base di U, e

w_1,...,w_n \subset\mathbb{R}^n

una base di W, e consideriamo la matrice

A=\mid u_1,...,u_r w_1,...,w_s \mid \in M_n_,_r_+_s \mathbb{R}

Sappiamo che si ha U+W=Im(A) (perché?); dunque la formula di Grassmann e il teorema delle dimensione implicano:

dim(U\cap W)=dimU+dimW-dim(U+W)=r+s-rgA=dimKerA

Vi chiedo cortesemente se potreste spiegarmi questa relazione, oltre al perché U+W=Im(A)
 
 

Formula di Grassmann, dimensione e base dell'intersezione di due sottospazi #2056

avt
Eka
Cerchio
Ciao Xavier!
La formula di Grassman dice che, dati due spazi vettoriali U e W, vale la seguente relazione:

\dim (U+W)= \dim U + \dim V - \dim (U\cap V)

cioè: se voglio sapere quanto è grande la somma di due spazi vettoriali, prendo i vettori che fanno parte del primo, i vettori che fanno parte del secondo e li sommo, facendo attenzione però a contare una sola volta quelli che appartengono ad entrambi gli spazi...

Proviamo a fare un esempio per capire meglio...
Prendiamo come primo spazio vettoriale il piano (x,y) che indicheremo con \mathbb{R}^2_{x,y}=\mathbb{R}_{x}\times \mathbb{R}_{y}. Ovviamente questo spazio ha dimensione 2!

Come facciamo a saperlo? Prendiamone una base! Ad esempio, quella canonica:
 \mathcal{B}_{x,y} = \{ e_1, e_2\}
.

Come secondo spazio, invece, prendiamo il piano (y,z): analogamente a prima, questo si potrà indicare con \mathbb{R}^2_{yz}=\mathbb{R}_{y}\times \mathbb{R}_{z} e sarà anch'esso di dimensione 2.

La sua base sarà:  \mathcal{B}_{y,z} = \{ e_2, e_3\}.

Ora immaginiamo di voler sommare i due spazi: se prendo il piano (x,y) e ci aggiungo il piano (y,z) otterrò lo spazio (x,y,z). Indichiamolo con \mathbb{R}^3_{x,y,z}.

Come possiamo vedere la "retta y" c'è due volte: c'è sia nel primo spazio vettoriale sia nel secondo, ma quando li sommiamo, ovviamente la contiamo una volta sola!
(Contarla due volte sarebbe superfluo, dato che da sempre la stessa informazione, no?)

Il fatto che la retta y appartiene ad entrambi gli spazi viene formalizzato dicendo che "la retta y è l'intersezione dei due spazi".
In simboli:

 \mathbb{R}^2_{x,y}\cap \mathbb{R}^2_{y,z} = \mathbb{R}_{y}


Ovviamente la retta y è uno spazio di dimensione 1, in quanto è costituita dal solo vettore e_2.

Allora, usando la formula di Grassman, vediamo che:

\dim (\mathbb{R}^3_{x,y,z})= \dim\mathbb{R}^2_{x,y} + \dim\mathbb{R}^2_{y,z} - \dim \mathbb{R}_{y}=2+2-1=3

Fin qui tutto è tutto chiaro? C'entra qualcosa con quello che volevi sapere?

Se è chiaro passiamo alla seconda parte... emt
Ringraziano: Omega, frank094, Ifrit, xavier310, ild0tt0re, CarFaby, jonny sella, aledr6697
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