Risoluzione all'indietro per trovare una base di Ker(S)

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Risoluzione all'indietro per trovare una base di Ker(S) #1596

avt
xavier310
Sfera
Ciao a tutti. Potreste aiutarmi a capire questo concetto sulla risoluzione all'indietro di un sistema lineare per trovare una base die Ker(S)?

La risoluzione all'indietro fornisce sempre le soluzioni nella forma v=v^0+x_i___1 w_1+...+x_i___n___-___r w_n_-_r , dove x___1,...,x_i___n___-___r, sono le variabili libere, v^0 \in \mathbb{R}^n è una soluzione particolare, e w_1,...,w_n_-_r \in \mathbb{R}^n sono un sistema di generatori di KerS. In realtà, i wj sono proprio una base di KerS

1) Non ho ben presente questa scrittura: v=v^0+x_i___1 w_1+...+x_i___n___-___r w_n_-_r : perpiacere potreste esplicitarla in un esempio

2)E perchè in questo modo trovo le basi?
 
 

Risoluzione all'indietro per trovare una base di Ker(S) #1609

avt
frank094
Maestro
Il teorema di struttura ci dice che le soluzioni di un sistema lineare non omogeneo si possono scrivere come

S = v_0 + W = \{v_0 + w \mbox{ } | \mbox{ } w \in W \}

Ovviamente v_0 è una soluzione particolare del sistema non omogeneo mentre W è lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo. Proviamo a scrivere un vettore di S?

s = v_0 + w_k

Ma w_k è una soluzione del sistema omogeneo che, per quanto detto qui ha dimensione n - r .. tutte le coordinate successive devono essere zero; ma w_k lo possiamo esprimere come combinazione di altri vettori?

w_k = x_{i, 1} w_1 + ... + x_{i, n - r} w_{n - r}

Dove w_1, ..., w_{n - r} prendono il valore 1 nella posizione j e x_{i, 1}, ..., x_{i, n-r} sono variabili libere ( che possono assumere qualsiasi valore ).
Il fatto che w_1, ..., w_{n - r} rappresentino una base è chiaro proprio per il fatto che hanno coordianta 1 fino alla posizione n - r ( dopo semplicemente 0 ) e di conseguenza possono raggiungere tutti i vettori di W.
Ovviamente ( per la loro struttura ) sono linearmente indipendenti e sono n - r, così come la dimensione del sottospazio da generare.

Io almeno questa cosa l'ho interpretata così e mi sembra abbastanza logica ma potrei aver commesso qualche imprecisione quindi aspetta una qualche conferma emt.
Ringraziano: Omega, thejunker

Risoluzione all'indietro per trovare una base di Ker(S) #1653

avt
Omega
Amministratore
L'hai interpretata correttamente, Frank. E la tua risposta esaurisce entrambe le richieste: sia sul fatto che il sistema di generatori \{w_{i}\}_{1...n-r} del nucleo è una base del nucleo, in quanto è un sistema di generatori linearmente indipendenti ed in numero pari alla dimensione del nucleo, sia sulla scrittura delle soluzioni come somma di una soluzione particolare con una qualsiasi combinazione lineare dei generatori del nucleo.

@ Xavier: ricordiamoci che stiamo parlando sempre di applicazioni lineari. Prova a valutare l'applicazione lineare (cioè la matrice) alla soluzione proposta dal teorema, e guarda un po' cosa succede... emt
Ringraziano: frank094
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