Risoluzione all'indietro per trovare una base di Ker(S)

Ciao a tutti. Potreste aiutarmi a capire questo concetto sulla risoluzione all'indietro di un sistema lineare per trovare una base die Ker(S)?

La risoluzione all'indietro fornisce sempre le soluzioni nella forma , dove sono le variabili libere, è una soluzione particolare, e sono un sistema di generatori di KerS. In realtà, i w_j sono proprio una base di KerS

1) Non ho ben presente questa scrittura: : perpiacere potreste esplicitarla in un esempio

2)E perchè in questo modo trovo le basi?

Il teorema di struttura ci dice che le soluzioni di un sistema lineare non omogeneo si possono scrivere come


Ovviamente è una soluzione particolare del sistema non omogeneo mentre è lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo. Proviamo a scrivere un vettore di ?


Ma è una soluzione del sistema omogeneo che, per quanto detto qui ha dimensione .. tutte le coordinate successive devono essere zero; ma lo possiamo esprimere come combinazione di altri vettori?


Dove prendono il valore 1 nella posizione e sono variabili libere ( che possono assumere qualsiasi valore ).
Il fatto che rappresentino una base è chiaro proprio per il fatto che hanno coordianta 1 fino alla posizione ( dopo semplicemente 0 ) e di conseguenza possono raggiungere tutti i vettori di .
Ovviamente ( per la loro struttura ) sono linearmente indipendenti e sono n - r, così come la dimensione del sottospazio da generare.

Io almeno questa cosa l'ho interpretata così e mi sembra abbastanza logica ma potrei aver commesso qualche imprecisione quindi aspetta una qualche conferma .

L'hai interpretata correttamente, Frank. E la tua risposta esaurisce entrambe le richieste: sia sul fatto che il sistema di generatori del nucleo è una base del nucleo, in quanto è un sistema di generatori linearmente indipendenti ed in numero pari alla dimensione del nucleo, sia sulla scrittura delle soluzioni come somma di una soluzione particolare con una qualsiasi combinazione lineare dei generatori del nucleo.

@ Xavier: ricordiamoci che stiamo parlando sempre di applicazioni lineari. Prova a valutare l'applicazione lineare (cioè la matrice) alla soluzione proposta dal teorema, e guarda un po' cosa succede...