Soluzioni di un sistema lineare con matrice a scala, lemma

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Soluzioni di un sistema lineare con matrice a scala, lemma #1593

avt
xavier310
Sfera
Buongiorno. Potete spiegarmi il significato di questo lemma sulle soluzioni di un sistema lineare con matrici a scala?

Sia S \in M_m_,_n \mathbb(R) una matrice a scala di rango r. Allora il sistema Sx=c ha soluzione se e solo se le ultime m-r coordinate di c sono zero, e lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo Sx=0 ha dimensione n-r.

Vi ringrazio
 
 

Soluzioni di un sistema lineare con matrice a scala, lemma #1604

avt
frank094
Maestro
Ciao Xavier, la dimostrazione del corollario è già molto esplicativa quindi oltre questa di farò un veloce esempio che forse completerà il quadro.

Dimostrazione: Il sistema ridotto a scala Sx = c è compatibile se e solo se c \in Im(S).
Lo spazio delle soluzioni Sx = O è Ker(S) che ha dimensione n - rgS.

Sappiamo già che un sistema è compatibile se e solo se c \in Span(A^1, ..., A^n) ma se ve ne sono di linearmente dipendenti possiamo toglierle così da ottenere - per quanto detto nel topic precedente - alla fine che il sistema è compatibile se e solo se c \in Im(S).
E' chiaro che il numero di elementi appartenenti all'immagine della matrice ridotta a scala è pari al suo rango perciò le m - r coordinate di c devono essere zero altrimenti viene meno la condizione c \in Im(S).

La seconda condizione è che lo spazio delle soluzioni dell'omogeneo abbia dimensione n - r. Il teorema della dimensione ci dice che

n = dim(KerS) + rg(S)

dim(KerS) = n - rg(S)

Sappiamo che lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo è proprio Ker(S), quindi anche la seconda è spiegata.

-------------------- Esempio -------------------

\left\{\begin{matrix} x + z = 1  \\ -x + y = 2 \\ 2x + y + z = 1 \\ x + 2y = 3 \end{matrix}

Prima di tutto riduzione a scala della matrice dei coefficienti delle variabili ( con il pedice m indico il segno - ):

S = \left[\begin{matrix} 1 \mbox{ } 0 \mbox{ } 1  \\ 0 \mbox{ } 1 \mbox{ } 1 \\ 0 \mbox{ } 0 \mbox{ } 2_m \\ 0 \mbox{ } 0 \mbox{ } 0 \end{matrix}\right]

Ponendo questo uguale al vettore nullo troviamo una sola soluzione nulla .. dim[Ker(S)] = 0 e il rango è 3 quindi la prima condizione è verificata.
Scriviamo adesso il sistema Sx = c:

S = \left[\begin{matrix} 1 \mbox{ } 0 \mbox{ } 1  \\ 0 \mbox{ } 1 \mbox{ } 1 \\ 0 \mbox{ } 0 \mbox{ } 2_m \\ 0 \mbox{ } 0 \mbox{ } 0 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 4_m \\ 2 \end{matrix}\right]

Già ad occhio è impossibile, ma notiamo che il rango di S è 3 mentre il numero di righe è quattro; per quanto detto prima le ultime 4 - 3 coordinate del vettore c dovrebbero essere nulle ma non è così e infatti il sistema è incompatibile.
Ringraziano: Omega, xavier310, L92

Soluzioni di un sistema lineare con matrice a scala, lemma #1611

avt
xavier310
Sfera
Il sistema ridotto a scala Sx = c è compatibile se e solo se c \in Im(S).

1) Cioè se c è combinazione lineare con le basi si Im(S)?

Lo spazio delle soluzioni Sx = O è Ker(S) che ha dimensione n - rgS.

2) rgS corrisponde alla dimensione di Im(S), cioè al numero dei pivot, cioè alla base di Im(S) o solo a un sistema di generatori?

E' chiaro che il numero di elementi appartenenti all'immagine della matrice ridotta a scala è pari al suo rango perciò le m - r coordinate di c devono essere zero altrimenti viene meno la condizione c \in Im(S).

3)Cosa vuol dire? Perchè le m - r coordinate di c devono essere zero? A cosa corrispondono queste coordinate? Se non sono zero?

Soluzioni di un sistema lineare con matrice a scala, lemma #1613

avt
frank094
Maestro
xavier310 ha scritto:
1) Cioè se c è combinazione lineare con le basi si Im(S)?

Semplicemente se il vettore c si può ottenere tramite combinazioni lineari dei vettori che compongono la base di Im(S) e quindi vi appartiene ( ogni vettore di uno spazio è raggiunto dalla combinazione lineari di quelli della base ).

xavier310 ha scritto:
2) rgS corrisponde alla dimensione di Im(S), cioè al numero dei pivot, cioè alla base di Im(S) o solo a un sistema di generatori?

Come già detto qui il numero di pivot ci da il numero massimo di linearmente indipendenti quindi corrisponde alla dimensione dell'immagine. Ovviamente la base dell'immagine è composta dal numero massimo di linearmente indipendenti ( e quindi dal numero di pivot tutti non nulli ).

xavier310 ha scritto:
3)Cosa vuol dire? Perchè le m - r coordinate di c devono essere zero? A cosa corrispondono queste coordinate? Se non sono zero?

Semplicemente che il vettore c si scrive come combinazione lineare delle colonne linearmente indipendenti.
Infatti l'immagine di S ha dimensione pari ad r mentre il vettore c ha m coordinate .. come potrebbero le ultime m - r essere raggiunge da vettori di dimensione r se fossero diverse da zero?
Ringraziano: Omega, xavier310, L92

Soluzioni di un sistema lineare con matrice a scala, lemma #1614

avt
xavier310
Sfera
Quindi le matrici 4 per 3 associate a un sistema lineare non esistono perchè sarebbe come dire che in unp spazio a 3 dimensioni ci sono 4 incognite? Perchè lo spazio è descritto sempre dal numero di colonne vero?

Soluzioni di un sistema lineare con matrice a scala, lemma #1615

avt
frank094
Maestro
Certo che esistono. Noi abbiamo parlato finora semplicemente dalla compatibilità o incompatibilità dei sistemi, non di altro.

Un sistema a quattro incognite e tre equazioni puoi tranquillamente risolverlo .. ti verrà incompatibile ( in rari casi ), compatibili con soluzione unica ( qualche volta ) e compatibile con tre incognite espresse in funzione di una quarta ( più spesso ).
Ringraziano: Omega

Soluzioni di un sistema lineare con matrice a scala, lemma #1616

avt
xavier310
Sfera
Ma i vettori vengono scritti per riga o per colonna in una matrice? (Ho una confusione in testa che solo un mago potrebbe risolvere =( )

Soluzioni di un sistema lineare con matrice a scala, lemma #1618

avt
frank094
Maestro
Beh, nel caso di un sistema si affiancano le colonne che contengono vettori di una variabile .. nel senso:

\left\{ \begin{matrix} 3x + 2y = 1 \\ x + y = 3 \end{matrix}

La matrice completa corrispondente è

A = \begin{vmatrix} 3 \mbox{ } 2 \mbox{ } 1 \\ 1 \mbox{ } 1 \mbox{ } 3 \end{vmatrix}

Intendevi questo?
Ringraziano: Omega

Soluzioni di un sistema lineare con matrice a scala, lemma #1620

avt
xavier310
Sfera
Si, e in questo caso se considero le righe cosa rappresentano, e considerando le colonne invece cosa rappresentano?

Soluzioni di un sistema lineare con matrice a scala, lemma #1630

avt
frank094
Maestro
Le colonne ti danno lo spazio di partenza, le righe quello di arrivo. ( Dopotutto anche righe e colonne sono vettori, no? ).
Ringraziano: Omega, L92
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