Soluzioni di un sistema lineare con matrice a scala, lemma

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Soluzioni di un sistema lineare con matrice a scala, lemma #1593

avt
xavier310
Sfera
Avrei bisogno della dimostrazione di un teorema che coinvolge i sistemi lineari con matrici associate a scala: il teorema sulla compatibilità di sistemi lineari con matrici a scala. Il libro propone solamente un cenno di dimostrazione. Potreste aiutarmi?

Sia S \in M_{m,n}(\mathbb{R}) una matrice a scala di rango r. Allora il sistema S\mathbf{x}=\mathbf{c} ha soluzione se e solo se le ultime m-r coordinate di \mathbf{c} sono zero, e lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo S\mathbf{x}=\mathbf{0} ha dimensione n-r.

Vi ringrazio.
 
 

Soluzioni di un sistema lineare con matrice a scala, lemma #1604

avt
Ifrit
Amministratore
Il teorema sulla compatibilità dei sistemi lineari con matrici a scala fornisce le condizioni necessarie e sufficienti affinché siffatti sistemi ammettano soluzioni.


Enunciato

Sia S\in M_{m,n}(\mathbb{R}) una matrice a scala di rango r. Allora il sistema S\mathbf{x}=\mathbf{c} ha soluzione se e solo se le ultime m-r coordinate di \mathbf{c} sono zero, e lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo S\mathbf{x}=\mathbf{0} ha dimensione n-r.

Prima di procedere con la dimostrazione è opportuno sottolineare che:

\bullet \ \ \ \mathbf{c} è il vettore colonna dei termini noti avente m righe

\mathbf{c}=\begin{pmatrix}c_1\\ c_2\\ c_3\\ \vdots\\ c_m\end{pmatrix}

\bullet \ \ \ \mathbf{x} è il vettore colonna delle incognite avente n righe

\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\\ \vdots \\ x_{n}\end{pmatrix}


\bullet \ \ \ \mathbf{0} è il vettore colonna nullo avente m righe.


Dimostrazione del teorema sulla compatibilità di sistemi lineari con matrici a scala

Il sistema S\mathbf{x}=\mathbf{c} ammette soluzioni se e solo se il vettore \mathbf{c} si esprime come combinazione lineare delle colonne della matrice S.

In altri termini, indicate con \mathbf{S}_1,\mathbf{S}_2,..., \mathbf{S}_n le colonne di S, devono esistere n scalari x_1,\, x_2,\, ...,\, x_n\in\mathbb{R} tali che

\mathbf{c}=x_1 \mathbf{S}_1+x_2\mathbf{S}_2+...+x_n \mathbf{S}_{n}

Per ipotesi S è una matrice a scala e ha rango r, pertanto le ultime m-r entrate delle colonne \mathbf{S}_i sono necessariamente nulle

\begin{array}{l,l}\mathbf{S}_i=\begin{pmatrix}s_{1i}\\ s_{2i} \\ \vdots \\ s_{(m-r) i}\\ \\ \hline \\  0 \\ \vdots \\ 0\end{pmatrix}&\begin{array}{l} \\ \\ \\ \\ \\ \\ \left.\begin{matrix}\\ \\ \\ \\ \end{matrix}\right\} \ m-r \ \mbox{zeri}\end{array}\end{array}\ \ \ \mbox{con}\ i\in\{1,2,...,n\}

Nel momento in cui esplicitiamo la combinazione lineare delle colonne, l'uguaglianza vettoriale

\mathbf{c}=x_1 \mathbf{S}_1+x_2\mathbf{S}_2+...+x_n \mathbf{S}_{n}

diventa

\begin{pmatrix}c_1\\ c_2\\ c_3\\ \vdots\\ c_{m-r}\\ c_{m-r+1}\\ \vdots\\  c_m\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{c}x_1 s_{11}+x_{2}s_{12}+...+x_{n}s_{1n}\\ x_1 s_{21}+x_{2}s_{22}+...+x_{n}s_{2n}\\ x_1 s_{31}+x_{2}s_{32}+...+x_{n}s_{3n}\\ \vdots \\ x_1 s_{(m-r)1}+x_{2}s_{(m-r)2}+...+x_{n}s_{(m-r)n}\\ 0\\ \vdots \\ 0\end{array}\right)

Ne deduciamo che le ultime m-r componenti di \mathbf{c} sono uguali a zero.

c_{m-r+1}=c_{m-r+2}=...=c_{m}=0

Il primo punto è provato.

Per dimostrare che la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo S\mathbf{x}=\mathbf{0} è esattamente n-r basta notare che è una diretta conseguenza del teorema di nullità più rango, il quale afferma che la dimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo, detta nullità della matrice e indicata con N(S), coincide con la differenza tra il numero delle incognite n e il rango della matrice dei coefficienti \mbox{rk}(S)=r

N(S)=n-\mbox{rk}(S)=n-r

come volevasi dimostrare.
Ringraziano: Omega, xavier310, L92
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Os