Soluzioni di un sistema lineare con matrice a scala, lemma

Avrei bisogno della dimostrazione di un teorema che coinvolge i sistemi lineari con matrici associate a scala: il teorema sulla compatibilità di sistemi lineari con matrici a scala. Il libro propone solamente un cenno di dimostrazione. Potreste aiutarmi?

Sia una matrice a scala di rango . Allora il sistema ha soluzione se e solo se le ultime coordinate di sono zero, e lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo ha dimensione .

Vi ringrazio.

Il teorema sulla compatibilità dei sistemi lineari con matrici a scala fornisce le condizioni necessarie e sufficienti affinché siffatti sistemi ammettano soluzioni.


Enunciato

Sia una matrice a scala di rango . Allora il sistema ha soluzione se e solo se le ultime coordinate di sono zero, e lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo ha dimensione .

Prima di procedere con la dimostrazione è opportuno sottolineare che:

è il vettore colonna dei termini noti avente righe



è il vettore colonna delle incognite avente righe




è il vettore colonna nullo avente righe.


Dimostrazione del teorema sulla compatibilità di sistemi lineari con matrici a scala

Il sistema ammette soluzioni se e solo se il vettore si esprime come combinazione lineare delle colonne della matrice .

In altri termini, indicate con le colonne di , devono esistere scalari tali che



Per ipotesi è una matrice a scala e ha rango , pertanto le ultime entrate delle colonne sono necessariamente nulle



Nel momento in cui esplicitiamo la combinazione lineare delle colonne, l'uguaglianza vettoriale



diventa



Ne deduciamo che le ultime componenti di sono uguali a zero.



Il primo punto è provato.

Per dimostrare che la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo è esattamente basta notare che è una diretta conseguenza del teorema di nullità più rango, il quale afferma che la dimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo, detta nullità della matrice e indicata con , coincide con la differenza tra il numero delle incognite e il rango della matrice dei coefficienti



come volevasi dimostrare.