Determinante di una matrice a elementi complessi

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Determinante di una matrice a elementi complessi #1579

avt
xavier310
Sfera
Tra gli esercizi sul calcolo del determinante ne ho incontrato uno in cui la matrice ha come elementi numeri complessi, con moduli e complessi coniugati. Il determinante si trova allo stesso modo delle matrici a elementi reali o cambia qualcosa?

Calcolare il determinante di

A=\begin{pmatrix}\imath & & \overline{-1+2\imath} & & |\imath| \\ \\ \overline{3\imath} & & 1+\imath & & 0 \\ \\ 0 & & \overline{2-3\imath} & & 2\imath\end{pmatrix}
 
 

Determinante di una matrice a elementi complessi #1588

avt
Omega
Amministratore
Quale che sia il campo (o più in generale l'insieme numerico) a cui appartengono gli elementi di una matrice, le regole per il calcolo del determinante non variano. Tutt'al più ciò che cambia è il modo in cui si svolgono alcune operazioni.

Vediamo come calcolare il determinante di

A=\begin{pmatrix}\imath & & \overline{-1+2\imath} & & |\imath| \\ \\ \overline{3\imath} & & 1+\imath & & 0 \\ \\ 0 & & \overline{2-3\imath} & & 2\imath\end{pmatrix}

Una barra orizzontale su un numero complesso z ne denota il complesso coniugato che, per definizione, è quel numero avente stessa parte reale e parte immaginaria di segno opposto rispetto a z

\\ a_{12}=\overline{-1+2\imath} = -1-2\imath \\ \\ a_{21}=\overline{3\imath} = -3\imath \\ \\ a_{32}=\overline{2-3\imath} = 2+3\imath

Infine |\imath| indica il modulo del numero complesso \imath, definito come la radice della somma dei quadrati di parte reale e di parte immaginaria.

La parte reale di \imath (unità immaginaria) è 0, mentre la sua parte immaginaria è 1

\mbox{Re}(\imath) = 0 \ \ ; \ \ \mbox{Im}(\imath)=1

per cui

a_{13}=|\imath| = \sqrt{[\mbox{Re}(\imath)]^2 + [\mbox{Im}(\imath)]^2} = \sqrt{0+1} = 1

Riprendiamo la matrice A e sostituiamo gli elementi con i rispettivi valori, così da ottenere una forma equivalente di cui è più semplice calcolare il determinante

A=\begin{pmatrix}\imath & & \overline{-1+2\imath} & & |\imath| \\ \\ \overline{3\imath} & & 1+\imath & & 0 \\ \\ 0 & & \overline{2-3\imath} & & 2\imath\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\imath & -1-2\imath & 1 \\ -3\imath & 1+\imath & 0 \\ 0 & 2+3\imath & 2\imath\end{pmatrix}

A è una matrice quadrata di ordine 3, per cui possiamo scegliere di usare gli sviluppi di Laplace o la regola di Sarrus.

La terza colonna di A ha elementi facili da gestire, e uno è addirittura nullo, dunque optiamo per uno sviluppo di Laplace rispetto ad essa

\\ \mbox{det}(A)=a_{13} \cdot \mbox{Cof}(a_{13}) + a_{23} \cdot \mbox{Cof}(a_{23}) + a_{33} \cdot \mbox{Cof}(a_{33})=

essendo a_{23}=0

= a_{13} \cdot \mbox{Cof}(a_{13}) + a_{33} \cdot \mbox{Cof}(a_{33})

In caso di dubbi ricordiamo che \mbox{Cof}(a_{ij}) è il complemento algebrico di a_{ij}, il cui valore è dato da

\mbox{Cof}(a_{ij}) = (-1)^{i+j} \cdot \mbox{det}(A_{ij})

dove A_{ij} è la matrice ottenuta eliminando la i-esima riga e la j-esima colonna di A.

Con questa premessa calcoliamo \mbox{Cof}(a_{13}), \mbox{Cof}(a_{33}).

\\ \mbox{Cof}(a_{13}) = (-1)^{1+3} \cdot \mbox{det}(A_{13}) = \\ \\ = (-1)^4 \cdot \mbox{det} \begin{pmatrix}-3\imath & 1-\imath \\ 0 & 2+3\imath\end{pmatrix} =

il determinante di matrice 2x2 è uguale alla differenza tra il prodotto degli elementi della diagonale principale e il prodotto degli elementi dell'antidiagonale

= 1 \cdot [-3\imath (2+3\imath) - 0] = -3\imath(2+3\imath) = -6\imath-9\imath^2=

ricordando che \imath^2=-1

=9-6\imath

Allo stesso modo

\\ \mbox{Cof}(a_{33}) = (-1)^{3+3} \cdot \mbox{det}(A_{33}) = \\ \\ \\ = (-1)^6 \cdot \mbox{det} \begin{pmatrix}\imath & -1-2\imath \\ -3\imath & 1-\imath\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = 1 \cdot [\imath(1-\imath) - (-1-2\imath)(-3\imath)] =

svolgiamo le operazioni tra numeri complessi nella coppia di parentesi quadre

\\ = \imath-\imath^2-(3\imath+6\imath^2) = \imath-\imath^2-3\imath-6\imath^2 = \\ \\ = -7\imath^2-2\imath = 7-2\imath

Per concludere riprendiamo la formula del calcolo del determinante di A e facciamo le dovute sostituzioni

\\ \mbox{det}(A)= a_{13} \cdot \mbox{Cof}(a_{13}) + a_{33} \cdot \mbox{Cof}(a_{33}) = \\ \\ = 1 \cdot (9-6\imath) + 2\imath(7-2\imath) = \\ \\ = 9-6\imath+14\imath-4\imath^2 = 9+8\imath+4 = \\ \\ = 13+8\imath

Ecco fatto.
Ringraziano: xavier310, CarFaby
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Os