Determinante di una matrice a elementi complessi

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Determinante di una matrice a elementi complessi #1579

xavier310

Sfera

Tra gli esercizi sul calcolo del determinante ne ho incontrato uno in cui la matrice ha come elementi numeri complessi, con moduli e complessi coniugati. Il determinante si trova allo stesso modo delle matrici a elementi reali o cambia qualcosa?

Calcolare il determinante di

$A=\begin{pmatrix}\imath & & \overline{-1+2\imath} & & |\imath| \\ \\ \overline{3\imath} & & 1+\imath & & 0 \\ \\ 0 & & \overline{2-3\imath} & & 2\imath\end{pmatrix}$

Determinante di una matrice a elementi complessi #1588

Omega

Amministratore

Quale che sia il campo (o più in generale l'insieme numerico) a cui appartengono gli elementi di una matrice, le regole per il calcolo del determinante non variano. Tutt'al più ciò che cambia è il modo in cui si svolgono alcune operazioni.

Vediamo come calcolare il determinante di

$A=\begin{pmatrix}\imath & & \overline{-1+2\imath} & & |\imath| \\ \\ \overline{3\imath} & & 1+\imath & & 0 \\ \\ 0 & & \overline{2-3\imath} & & 2\imath\end{pmatrix}$

Una barra orizzontale su un numero complesso

ne denota il complesso coniugato che, per definizione, è quel numero avente stessa parte reale e parte immaginaria di segno opposto rispetto a

$\\ a_{12}=\overline{-1+2\imath} = -1-2\imath \\ \\ a_{21}=\overline{3\imath} = -3\imath \\ \\ a_{32}=\overline{2-3\imath} = 2+3\imath$

Infine $|\imath|$ indica il modulo del numero complesso $\imath$ , definito come la radice della somma dei quadrati di parte reale e di parte immaginaria.

La parte reale di $\imath$ (unità immaginaria) è 0, mentre la sua parte immaginaria è 1

$\mbox{Re}(\imath) = 0 \ \ ; \ \ \mbox{Im}(\imath)=1$

per cui

$a_{13}=|\imath| = \sqrt{[\mbox{Re}(\imath)]^2 + [\mbox{Im}(\imath)]^2} = \sqrt{0+1} = 1$

Riprendiamo la matrice

e sostituiamo gli elementi con i rispettivi valori, così da ottenere una forma equivalente di cui è più semplice calcolare il determinante

$A=\begin{pmatrix}\imath & & \overline{-1+2\imath} & & |\imath| \\ \\ \overline{3\imath} & & 1+\imath & & 0 \\ \\ 0 & & \overline{2-3\imath} & & 2\imath\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\imath & -1-2\imath & 1 \\ -3\imath & 1+\imath & 0 \\ 0 & 2+3\imath & 2\imath\end{pmatrix}$

è una matrice quadrata di ordine 3, per cui possiamo scegliere di usare gli sviluppi di Laplace o la regola di Sarrus.

La terza colonna di

ha elementi facili da gestire, e uno è addirittura nullo, dunque optiamo per uno sviluppo di Laplace rispetto ad essa

$\\ \mbox{det}(A)=a_{13} \cdot \mbox{Cof}(a_{13}) + a_{23} \cdot \mbox{Cof}(a_{23}) + a_{33} \cdot \mbox{Cof}(a_{33})=$

essendo $a_{23}=0$

$= a_{13} \cdot \mbox{Cof}(a_{13}) + a_{33} \cdot \mbox{Cof}(a_{33})$

In caso di dubbi ricordiamo che $\mbox{Cof}(a_{ij})$ è il complemento algebrico di $a_{ij}$ , il cui valore è dato da

$\mbox{Cof}(a_{ij}) = (-1)^{i+j} \cdot \mbox{det}(A_{ij})$

dove $A_{ij}$ è la matrice ottenuta eliminando la

-esima riga e la

-esima colonna di

.

Con questa premessa calcoliamo $\mbox{Cof}(a_{13}), \mbox{Cof}(a_{33})$ .

$\\ \mbox{Cof}(a_{13}) = (-1)^{1+3} \cdot \mbox{det}(A_{13}) = \\ \\ = (-1)^4 \cdot \mbox{det} \begin{pmatrix}-3\imath & 1-\imath \\ 0 & 2+3\imath\end{pmatrix} =$

il determinante di matrice 2x2 è uguale alla differenza tra il prodotto degli elementi della diagonale principale e il prodotto degli elementi dell'antidiagonale

$= 1 \cdot [-3\imath (2+3\imath) - 0] = -3\imath(2+3\imath) = -6\imath-9\imath^2=$

ricordando che $\imath^2=-1$

$=9-6\imath$

Allo stesso modo

$\\ \mbox{Cof}(a_{33}) = (-1)^{3+3} \cdot \mbox{det}(A_{33}) = \\ \\ \\ = (-1)^6 \cdot \mbox{det} \begin{pmatrix}\imath & -1-2\imath \\ -3\imath & 1-\imath\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = 1 \cdot [\imath(1-\imath) - (-1-2\imath)(-3\imath)] =$

svolgiamo le operazioni tra numeri complessi nella coppia di parentesi quadre

$\\ = \imath-\imath^2-(3\imath+6\imath^2) = \imath-\imath^2-3\imath-6\imath^2 = \\ \\ = -7\imath^2-2\imath = 7-2\imath$

Per concludere riprendiamo la formula del calcolo del determinante di

e facciamo le dovute sostituzioni

$\\ \mbox{det}(A)= a_{13} \cdot \mbox{Cof}(a_{13}) + a_{33} \cdot \mbox{Cof}(a_{33}) = \\ \\ = 1 \cdot (9-6\imath) + 2\imath(7-2\imath) = \\ \\ = 9-6\imath+14\imath-4\imath^2 = 9+8\imath+4 = \\ \\ = 13+8\imath$

Ecco fatto.

Ringraziano: xavier310, CarFaby

Pagina:
1