Composizione di applicazioni lineari, chiarimenti

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Composizione di applicazioni lineari, chiarimenti #1557

avt
xavier310
Sfera
Ciao, sono sempre io, qui le incertezze riguardano la composizione di applicazioni lineari, mi servirebbero un po' di chiarimenti.

Cioè cos'è la composizione tra applicazioni lineari, e in termini pratici come si effettua?

La composizione si può applicare sempre o solo in determinate condizioni?

E se ho tre applicazioni lineari, qual'è il modo per passare dalla prima alla terza senza passare dalla seconda?

Perché si parla di composizione per applicazioni lineari e non semplicemente per spazi vettoriali?

Extra: quando possiamo riconoscere con certezza che un'applicazione è lineare?
 
 

Composizione di applicazioni lineari, chiarimenti #1560

avt
frank094
Maestro
Ciao Xavier, la composizione tra applicazioni lineari è l'equivalente ( a meno di alcune proprietà ) della composizione di funzioni: capita quella, capito tutto.

La maggior parte dei dubbi espressi nella tua domanda si chiariranno sicuramente con la lettura della lezione ma se dovessi averne ancora qualcuno non esitare a chiedere!


"Perché si parla di composizione per applicazioni lineari e non semplicemente per spazi vettoriali?"

Semplicemente perché non ha senso fare la composizione tra due spazi vettoriali. Uno spazio vettoriale è sostanzialmente un'insieme, un'applicazione lineare è una funzione.

Le applicazioni lineari lavorano tra spazi vettoriali e con la composizione associo ad un elemento del primo spazio vettoriale un elemento di un terzo secondo una certa legge.


"Quando possiamo riconoscere con certezza che un'applicazione è lineare?

Vedi qui: definizione di applicazione lineare.

Risposta: in sintesi, quando è additiva ( T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) ) e omogenea ( T(λv) = λ T(v) ), ovviamente per ogni elemento dello spazio vettoriale V e per qualsiasi λ appartenente all'insieme dei numeri reali.
Ringraziano: Omega, xavier310, CarFaby

Composizione di applicazioni lineari, chiarimenti #1572

avt
xavier310
Sfera
Le applicazione lineari associate ai polinomi sono lineari solo se il grado è inferiore al 2?

E le applicazioni lineari associate alle matrici soddisfano sempre la linearità?

Composizione di applicazioni lineari, chiarimenti #1574

avt
frank094
Maestro
Le applicazione lineari associate ai polinomi sono lineari solo se il grado è inferiore al 2?

Ovviamente. E se di primo grado deve mancare il termine noto.

E le applicazioni lineari associate alle matrici soddisfano sempre la linearità?

Intendi se le applicazioni lineari definite da matrici sono sempre lineari?

Certo che sì, \forall A \in M_{m, n}(\mathbb{R}) l'applicazione L_A: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m} associata alla matrice A è lineare.
Ringraziano: Omega, xavier310, CarFaby, Eudamonia

Composizione di applicazioni lineari, chiarimenti #1581

avt
xavier310
Sfera
Ok, chiaro =)

Ti ringrazio, sei stato (come sempre) di grande aiuto!
Ringraziano: frank094
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Os