Trovare una base del nucleo di un'applicazione lineare, esercizio

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Trovare una base del nucleo di un'applicazione lineare, esercizio #1521

avt
xavier310
Sfera
Ciao ragazzi. Non ho ben presente come svolgere questo esercizio, mi chiede di trovare una base del nucleo di un'applicazione lineare.

Mi potreste aiutare?

Sia T: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R} l'applicazione lineare data da T(x)=x_2 - x_3. Trova una base del nucleo dell'applicazione lineare T, Ker(T)
 
 

Trovare una base del nucleo di un'applicazione lineare, esercizio #1524

avt
hagrid_ilbotto
Cerchio
ricordiamo la definizione di  ker T= \{x \in \mathbb{R}^4 | Tx=0\} , cioè le soluzioni del sistema  x_2-x_3=0. portando al secondo membro si ha  x_2=x_3 che è un sottospazio vettoriale di dimensione 3 una cui base si trova assegnando il valore 1 a turno alle variabili libere quindi
 (1 0 0 0), (0 1 1 0), (0 0 0 1).
Ringraziano: Omega, frank094

Trovare una base del nucleo di un'applicazione lineare, esercizio #1526

avt
xavier310
Sfera
Come ricavi il fatto che è un sottospazio vettoriale di dimensione 3? E perchè la base si trova assegnando 1 a turno alle variabili libere?

Trovare una base del nucleo di un'applicazione lineare, esercizio #1539

avt
thejunker
Frattale
Il ker(T) ha dimensione 3 poichè ha 3 variabili libere, infatti x^1,x^2,x^4 sono variabili che possono prendere qualsiasi valore e non ti modificano l'equazione che descrive il ker(T).
Come ti ha scritto Hagrid l'equazione descrivente il ker si trova ponendo

x^2-x^3=0

Che diventa:

x^2=x^3


Allora chiamando le variabili x_1=x^1,x_2=x^2,x_3=x^3,x_4=x^4
noti che x_1,x_2,x_4 sono libere poichè qualunque valore tu assegni ad esse non pregiudicano il risultato dell'equazione.
x_3 tuttavia deve per forza prendere lo stesso valore di x_2 altrimenti l'equazione non verrà rispettata.
Nota che come terna di variabili libere puoi sceglierex_1,x_3,x_4 e sarebbe x_2 ad essere variabile dipendente, ma non cambierebbe assolutamente nulla.
E' cosi abbiamo risposto alla tua prima domanda.
Per quanto riguarda la seconda scriviti i generatori del ker così:

\mathbb{K}er(T)=Span(x_1,0,0,0;\ 0,x_2,x_2,0;\ 0,0,0,x_4)

A questo punto per trovare una delle basi puoi sostituire il valore 1 alle x un'alla volta.Puoi usare anche il valore 189764 o \pi non cambierebbe nulla,avresti solo un altro insieme di basi.
Quindi a questo punto cosa ottieni?


  • Per\ x_1=1\ hai\ :(1,0,0,0;\ 0,0,0,0;\ 0,0,0,0)
  • Per\ x_2=1\ hai\ :(0,0,0,0;\ 0,1,1,0;\ 0,0,0,0)
  • Per\ x_4=1\ hai\ :(0,0,0,0;\ 0,0,0,0;\ 0,0,0,1)


A questo punto riunisci le basi

\mathbb{K}er(T)\ =\ Span(1,0,0,0;\ 0,1,1,0;\ 0,0,0,1)


E' cosi dovremmo aver chiarito anche il tuo secondo dubbio emt
Ringraziano: Omega, frank094, xavier310, hagrid_ilbotto

Trovare una base del nucleo di un'applicazione lineare, esercizio #1576

avt
hagrid_ilbotto
Cerchio
Ovviamente quello che dice thejunker è la spiegazione migliore. Però per ricavare più velocemente la dim(Ker(T)) ti basta applicare un teorema che dice che:
dim(V)=dim(Ker(f))+dim(Im(f))

Dove nel tuo caso V=\mathbb{R}^4 e f=T. Essendo l'immagine di T un sottospazio di \mathbb{R} non nullo avrà dimensione 1. Ovviamente \mathbb{R}^4 ha dimensione 4 e quindi dim(Ker(T))=4-1=3. emt
Ringraziano: Omega, thejunker, xavier310

Trovare una base del nucleo di un'applicazione lineare, esercizio #1580

avt
xavier310
Sfera
Quindi sia T: V \to W una applicazione lineare che va dal sottospazio V ( di dimensione n ) al sottospazio W ( di dimensione m ).

se n > m allora la dimensione del nucleo sarà data sempre da n-m?
se m > n in questo caso la dimensione del nucleo sarà sempre uguale a zero?

Trovare una base del nucleo di un'applicazione lineare, esercizio #1582

avt
hagrid_ilbotto
Cerchio
dipende dalla dimensione dell'immagine...ovviamente le immagini non è detto che abbiamo la dimensione pari a quella del codominio. Nel caso del problema che avevi posto tu il codominio era \mathbb{R} e quindi l'immagine doveva avere per forza dimensione 1 altrimenti sarebbe stata vuota. Considera sempre, quindi, che l'immagine è contenuta nel codominio e che ha sempre dimensione minore o uguale del codominio stesso. Quindi a seconda della dimensione dell'immagine ricavi quella del nucleo con il teorema di prima. Spero di essere stato chiaro. In caso chiedi pure emt
Ringraziano: Omega
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Os