Trovare due vettori di due sottospazi conoscendo la somma, esercizio

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Trovare due vettori di due sottospazi conoscendo la somma, esercizio #1515

avt
xavier310
Sfera
Buonasera a tutti. Scusate, mi aiutereste con un esercizio sui sottospazi vettoriali? In pratica ho due sottospazi vettoriali e un vettore, devo trovare due vettori dei due sottospazi conoscendo il vettore somma. Vi ringrazio per l'aiuto

Dati i sottospazi di R4:

 U_1=Span\begin{vmatrix} 3\\ 11 \\ 5\\2\end{vmatrix},\begin{vmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \\1\end{vmatrix} e  U_2=Span\begin{vmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \\2\end{vmatrix},\begin{vmatrix} 1\\ 3 \\ 4 \\1\end{vmatrix}

e posto v=4e_1+8e_2+8e_3+4e_4 trova u_1 \in U_1 e u_2 \in U_2 tali che v=u_1+u_2
 
 

Trovare due vettori di due sottospazi conoscendo la somma, esercizio #1516

avt
thejunker
Frattale
Xavier scusami ma non ho capito bene l'esercizio, in particolare quella somma algebrica con le basi canoniche...
Ringraziano: Omega

Trovare due vettori di due sottospazi conoscendo la somma, esercizio #1517

avt
xavier310
Sfera
Dati i sottospazi di R4:

 U_1=Span\begin{vmatrix} 3\\ 11 \\ 5\\2\end{vmatrix},\begin{vmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \\1\end{vmatrix} e  U_2=Span\begin{vmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \\2\end{vmatrix},\begin{vmatrix} 1\\ 3 \\ 4 \\1\end{vmatrix}

e posto v=4e_1+8e_2+8e_3+4e_4 trova u_1 \in U_1 e u_2 \in U_2 tali che v=u_1+u_2

Trovare due vettori di due sottospazi conoscendo la somma, esercizio #1518

avt
frank094
Maestro
Vediamo un po' che ci esce.

Abbiamo i sottospazi di \mathbb{R}^{4}

U_1=Span\left(\begin{vmatrix} 3\\ 11 \\ 5\\2\end{vmatrix},\begin{vmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \\1\end{vmatrix}\right), \mbox{ & & & & & & }  U_2=Span \left( \begin{vmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \\2\end{vmatrix},\begin{vmatrix} 1\\ 3 \\ 4 \\1\end{vmatrix}\right)

E posto v = 4e_1 + 8e_2 + 8e_3 + 4e_4 ( con "e" base canonica ) dobbiamo trovare due vettori u_1 \in U_1, u_2 \in U_2 tali che v = u_1 + u_2.

Iniziamo con lo scrivere in maniera più comprensibile il vettore che bisogna trovare:

v = \begin{vmatrix} 4\\ 8 \\ 8\\4\end{vmatrix}

Prendiamo adesso una generica combinazione lineare dal primo sottospazio:

u_1 = \begin{vmatrix} 3 \alpha_1 + \alpha_2 \\ 11 \alpha_1 + 5 \alpha_2 \\ 5 \alpha_1 + 2 \alpha_2 \\ 2 \alpha_1 + \alpha_2 \end{vmatrix}

Adesso del secondo sottospazio:

u_2 = \begin{vmatrix} \beta_1 + \beta_2 \\ 3 \beta_1 + 3 \beta_2 \\ 2 \beta_1 + 4 \beta_2 \\ 2 \beta_1 + \beta_2 \end{vmatrix}

Calcoliamo adesso la somma tra questi due vettori:

u_1 + u_2 = \begin{vmatrix} 3 \alpha_1 + \alpha_2 + \beta_1 + \beta_2 \\ 11 \alpha_1 + 5 \alpha_2 + 3 \beta_1 + 3 \beta_2 \\ 5 \alpha_1 + 2 \alpha_2 + 2 \beta_1 + 4 \beta_2 \\ 2 \alpha_1 + \alpha_2 + 2 \beta_1 + \beta_2 \end{vmatrix}

A questo punto poniamo che la somma sia uguale al vettore cercato:

u_1 + u_2 = \begin{vmatrix} 3 \alpha_1 + \alpha_2 + \beta_1 + \beta_2 \\ 11 \alpha_1 + 5 \alpha_2 + 3 \beta_1 + 3 \beta_2 \\ 5 \alpha_1 + 2 \alpha_2 + 2 \beta_1 + 4 \beta_2 \\ 2 \alpha_1 + \alpha_2 + 2 \beta_1 + \beta_2 \end{vmatrix} = v = \begin{vmatrix} 4\\ 8 \\ 8\\4\end{vmatrix}

Risolviamo il sistema lineare a quattro incognite

\left\{\begin{matrix} 3 \alpha_1 + \alpha_2 + \beta_1 + \beta_2 = 4  \\ 11 \alpha_1 + 5 \alpha_2 + 3 \beta_1 + 3 \beta_2 = 8 \\ 5 \alpha_1 + 2 \alpha_2 + 2 \beta_1 + 4 \beta_2 = 8 \\ 2 \alpha_1 + \alpha_2 + 2 \beta_1 + \beta_2 = 4 \end{matrix}

Le cui soluzioni sono:

\left\{\begin{matrix} \alpha_1 = \frac{12}{7}  \\ \alpha_2 = - \frac{26}{7} \\ \beta_1 = \frac{12}{7} \\ \beta_2 = \frac{6}{7} \end{matrix}

Andando a sostituire nelle coordinate dei vettori u_1 e u_2 troverai il risultato.

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Io credo che il problema si svolga così .. voi altri che ne dite?
Ringraziano: Omega, thejunker

Trovare due vettori di due sottospazi conoscendo la somma, esercizio #1519

avt
thejunker
Frattale
Perfetto Frank, mi hai battuto sul tempo nella risoluzione. Infatti mi ero perso nella ricerca di un errore di calcolo nel sistema.

Comunque l'esercizio è corretto.
Ringraziano: Omega, frank094, xavier310

Trovare due vettori di due sottospazi conoscendo la somma, esercizio #1520

avt
xavier310
Sfera
Vi ringrazio. Siete fantastici
Ringraziano: frank094
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Os