Equivalenza delle definizioni di rango

Potreste dimostrare l'equivalenza tra queste definizioni di rango di una matrice?

Sia una matrice con righe e colonne a coefficienti in un campo . Il rango di si definisce in uno dei seguenti modi, equivalenti tra loro:

1) è il numero di righe linearmente indipendenti di ;

2) è il numero di colonne linearmente indipendenti di ;

3) è la dimensione dell'immagine dell'applicazione lineare che a ogni vettore colonna associa ;

4) è l'ordine massimo dei minori non nulli estraibili da ;

5) è il numero di pivot di una riduzione a scala di attraverso un'eliminazione gaussiana;

6) è la dimensione del sottospazio generato dalle righe o dalle colonne di .

Potreste dimostrare l'equivalenza tra queste definizioni?

Prima di entrare nel vivo della questione e dimostrare l'equivalenza tra le definizioni di rango è utile fare una piccola premessa sul modo più pratico e veloce di procedere.

In generale, per provare l'equivalenza di più asserti conviene procedere con una dimostrazione a catena, cioè per dimostrare l'equivalenza di enunciati



invece di dimostrare le implicazioni logiche



si possono provare le seguenti



Così facendo si risparmiano le dimostrazioni di implicazioni, e non è cosa da poco.

Cominciamo: sia . Dobbiamo dimostrare che le seguenti definizioni di rango di una matrice sono tra loro equivalenti:

(1) è il numero di righe linearmente indipendenti di ;

(2) è il numero di colonne linearmente indipendenti di ;

(3) è la dimensione dell'immagine dell'applicazione lineare che a ogni vettore colonna associa ;

(4) è l'ordine massimo dei minori non nulli estraibili da ;

(5) è il numero di pivot di una riduzione a scala di attraverso un'eliminazione gaussiana;

(6) è la dimensione del sottospazio generato dalle righe o dalle colonne di .

Per quanto detto poc'anzi, se dimostriamo la seguente catena di implicazioni


possiamo concludere che le 6 definizioni sono equivalenti tra loro. Procediamo!



Indichiamo con il rango della matrice e assumiamo come ipotesi che sia il massimo numero di righe linearmente indipendenti di .

Dobbiamo dimostrare che è anche il massimo numero di colonne linearmente indipendenti di .

Siano le righe di e sia



una base del sottospazio generato dalle righe di .

Ogni riga di può essere allora scritta come combinazione lineare degli elementi della base , cioè per ogni esistono gli scalari tali che



Denotiamo con la matrice che ha per righe i vettori della base e con la matrice i cui elementi sono gli scalari .

L'uso di queste notazioni permette di scrivere la precedente uguaglianza in forma matriciale



Da una proprietà della trasposizione applicata al prodotto tra matrici segue che



Di conseguenza, le righe di , e dunque le colonne di , sono combinazione lineare delle righe di , che sono .

Il sottospazio generato dalle colonne di ha quindi generatori, per cui il numero di colonne linearmente indipendenti di è minore o uguale di .

Abbiamo così dimostrato che per ogni matrice il numero di colonne linearmente indipendenti è minore o uguale del massimo numero di righe linearmente indipendenti.

Applicando questa disuguaglianza alla matrice si ottiene che il numero di colonne linearmente indipendenti di è minore o uguale del massimo numero di righe linearmente indipendenti di .

Dalla definizione di matrice trasposta segue che il numero di righe linearmente indipendenti di è minore o uguale del massimo numero di colonne linearmente indipendenti di , e quindi, necessariamente, il massimo numero di colonne linearmente indipendenti di è .



Sapendo che è il massimo numero di colonne linearmente indipendenti di dobbiamo dimostrare che è la dimensione dell'immagine dell'applicazione lineare



Sia la base canonica di . Allora



Inoltre, per ogni risulta che e dunque il prodotto riga per colonna restituisce la -esima colonna di .

Dunque l'immagine dell'applicazione lineare coincide col sottospazio generato dalle colonne , ossia



Per ipotesi sappiamo che il massimo numero di colonne linearmente indipendenti di è , dunque





Sapendo che è la dimensione dell'immagine dell'applicazione lineare , dobbiamo provare che è l'ordine massimo dei minori non nulli estraibili da .

Ricordando la definizione di minore associato a una matrice, ciò equivale a provare che è l'ordine massimo delle sottomatrici estraibili da con determinante diverso da zero.

Sia la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alle basi canoniche di e di .

Le colonne di sono i vettori dell'immagine di , che ha dimensione . Di conseguenza è il massimo numero di colonne linearmente indipendenti di , quindi esiste una sottomatrice quadrata di ordine con determinante diverso da zero, e non può esistere una di ordine superiore.

Se esistesse, infatti, una sottomatrice quadrata di di ordine con determinante diverso da zero, allora le colonne linearmente indipendenti di sarebbero , contro l'ipotesi assunta.



Supponiamo ora che è l'ordine massimo dei minori non nulli estraibili da .

Da ciò segue che è il numero massimo di righe linearmente indipendenti di , quindi le restanti righe di si possono scrivere come combinazione lineare delle altre, ossia per ogni esistono gli scalari tali che



Di conseguenza



Se applichiamo il metodo di eliminazione gaussiana alla matrice si ottiene una matrice a gradini con le prime righe non identicamente nulle e con le rimanenti righe con tutti termini nulli.

Il numero di pivot di una matrice a gradini è, per definizione, il numero di righe non identicamente nulle, e da ciò segue la tesi.



Assumiamo per ipotesi che sia il numero di pivot della matrice ridotta a gradini associata ad . Allora è il numero di righe non identicamente nulle della matrice a gradini e quindi è il numero massimo di righe linearmente indipendenti di .

Dalla definizione di dimensione di uno spazio vettoriale abbiamo la tesi, infatti se



è il sottospazio generato dalle righe di , essendo il massimo numero di righe linearmente indipendenti si ha che





Assumiamo, infine, che



Per definizione di dimensione, è il massimo numero di vettori linearmente indipendenti del sottospazio generato, quindi è proprio il massimo numero di righe di linearmente indipendenti, e la dimostrazione può dirsi conclusa.