L'immagine di una base è un sistema di generatori dell'immagine di un'applicazione lineare

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L'immagine di una base è un sistema di generatori dell'immagine di un'applicazione lineare #1504

avt
xavier310
Sfera
Ciao, avrei bisogno di aiuto nella comprensione di un lemma sulle applicazioni lineari secondo cui le immagini degli elementi di una base mediante un'applicazione lineare è un sistema di generatori dell'immagine dell'applicazione lineare.

Potreste fornirmi l'enunciato e la dimostrazione, per favore?
 
 

L'immagine di una base è un sistema di generatori dell'immagine di un'applicazione lineare #1525

avt
Omega
Amministratore
Quello che riporteremo è certamente uno dei lemmi più importanti nel contesto dell'Algebra lineare, perché permette di determinare un sistema di generatori per l'immagine di un'applicazione lineare T e rappresenta uno strumento imprescindibile per ricavare una base per \mbox{Im}(T).


Enunciato del lemma

Siano V,W due spazi vettoriali su un campo \mathbb{K} e sia \mathcal{B}_{V}=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} una base di V.

Se T:V\to W è un'applicazione lineare, allora le immagini degli elementi di \mathcal{B}_{V} costituiscono un sistema di generatori di \mbox{Im}(T).

\mbox{Im}(T)=\mbox{Span}(T(\mathbf{v}_1),\ T(\mathbf{v}_2),\ ...,\ T(\mathbf{v}_n))


Dimostrazione del lemma

Consideriamo un generico elemento \mathbf{w}\in\mbox{Im}(T). Per definizione di immagine, esiste \mathbf{v}\in V tale che T(\mathbf{v})=\mathbf{w}.

Dato che \mathcal{B}_{V}=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_n\} è una base del dominio, possiamo esprimere il vettore \mathbf{v} come combinazione lineare degli elementi di \mathcal{B}_{V}. In altri termini, esistono \alpha_1,\alpha_2,..., \alpha_n\in\mathbb{K} tali che

\mathbf{v}=\alpha_1\mathbf{v}_1+\alpha_2\mathbf{v}_2+...+\alpha_n\mathbf{v}_n

Applichiamo T ai due membri

T(\mathbf{v})=T(\alpha_1\mathbf{v}_1+\alpha_2\mathbf{v}_2+...+\alpha_n\mathbf{v}_n)

e sfruttiamo la linearità di T di modo che la precedente relazione diventi:

T(\mathbf{v})=\alpha_1T(\mathbf{v}_1)+\alpha_2T(\mathbf{v}_2)+...+\alpha_nT(\mathbf{v}_n)

Poiché \mathbf{w}=T(\mathbf{v}), segue che:

\mathbf{w}=\alpha_1T(\mathbf{v}_1)+\alpha_2T(\mathbf{v}_2)+...+\alpha_nT(\mathbf{v}_n)

Ciò significa che ogni elemento dell'immagine si esprime come combinazione lineare dei vettori

T(\mathbf{v}_1), T(\mathbf{v}_2),...,T(\mathbf{v}_n)

per cui costituiscono un sistema di generatori per l'immagine di T.


Osservazioni importanti

In generale \{T(\mathbf{v}_1),\ T(\mathbf{v}_2),\ ...,\ T(\mathbf{v}_n)\} non è una base per l'immagine, perché non è garantita l'indipendenza lineare dei vettori

T(\mathbf{v}_1),\ T(\mathbf{v}_2),\ ...,\ T(\mathbf{v}_n)

Non tutto è perduto! Possiamo sempre estrapolare una base con le tecniche opportune: per approfondire, vi rimandiamo alla lezione sull'estrazione di una base da un sistema di generatori.

Osserviamo infine che se T è un monomorfismo (applicazione lineare iniettiva), allora \{T(\mathbf{v}_1),\ T(\mathbf{v}_2),\ ...,\ T(\mathbf{v}_n)\} è una base per l'immagine di T.
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