Matrice rappresentativa di un'applicazione lineare e cambiamento di base

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Matrice rappresentativa di un'applicazione lineare e cambiamento di base #14971

avt
Watti
Punto
Chiedo il vostro aiuto per capire come si procede nel calcolo di una matrice rappresentativa di un'applicazione lineare con la formula del cambiamento di base. Vi propongo un esercizio assegnato dal mio docente di Algebra e Geometria.

Sia data la seguente applicazione lineare F:R^3 → R^3:

F(x,y,z) = (2x+y+2z, x-3y+z, x+2y+z)

Scrivere la matrice rappresentativa di F rispetto alla base

mathcalB'= (1,0,0), (1,-1,0), (0,-1,-1)

ricorrendo alla formula del cambiamento di base per endomorfismi.
Ringraziano: Bob11
 
 

Matrice rappresentativa di un'applicazione lineare e cambiamento di base #14976

avt
Omega
Amministratore
Prima di risolvere l'esercizio facciamo un breve ripasso teorico sulla formula del cambiamento di base per endomorfismi.

Siano V uno spazio vettoriale finitamente generato su un campo K, mathcalB, mathcalB' due basi di V e F: V → V un endomorfismo.

Indichiamo con A_F^(mathcalB) la matrice associata a F rispetto a mathcalB e con A_F^(mathcalB') la matrice rappresentativa di F rispetto a mathcalB'.

Detta M_(mathcalB → mathcalB') la matrice di cambiamento di base da mathcalB a mathcalB', vale la seguente relazione, detta formula del cambiamento di base per endomorfismi:

A_F^(mathcalB') = M_(mathcalB → mathcalB')·A_F^(mathcalB)·M_(mathcalB'→ mathcalB)

dove · è il prodotto tra matrici.

Tenendo bene a mente tutto questo passiamo all'esercizio, che assegna l'endomorfismo F:R^3 → R^3 definito da:

F(x,y,z) = (2x+y+2z, x-3y+z, x+2y+z)

e chiede di calcolare, con la formula del cambiamento di base, la matrice rappresentativa di F rispetto alla base

mathcalB'= (1,0,0), (1,-1,0), (0,-1,-1)

Sia mathcalB la base canonica di R^3:

mathcalB = e_1, e_2,e_3 = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)

Scriviamo la matrice A_F^(mathcalB) associata a F rispetto a mathcalB.

Tale matrice ha per colonne le immagini mediante F dei vettori e_1, e_2,e_3.

F(e_1) = F(1,0,0) = (2,1,1) ; F(e_2) = F(0,1,0) = (1,-3,2) ; F(e_3) = F(0,0,1) = (2,1,1)

dunque

A_F^(mathcalB) = [2 1 2 ; 1 -3 1 ; 1 2 1]

Facciamo ora intervenire la formula del cambiamento di base, secondo cui

A_F^(mathcalB') = M_(mathcalB → mathcalB')·A_F^(mathcalB)·M_(mathcalB'→ mathcalB)

Poiché, in questo caso, mathcalB è la base canonica di R^3, la matrice di passaggio da mathcalB' a mathcalB ha per colonne i vettori di mathcalB'

M_(mathcalB'→ mathcalB) = [1 1 0 ; 0 -1 -1 ; 0 0 -1]

mentre M_(mathcalB → mathcalB') è la sua inversa, ossia

M_(mathcalB → mathcalB') = (M_(mathcalB'→ mathcalB))^(-1) = [1 1 0 ; 0 -1 -1 ; 0 0 -1]^(-1) = [1 1 -1 ; 0 -1 1 ; 0 0 -1]

In conclusione, per la formula del cambiamento di base:

A_F^(mathcalB') = M_(mathcalB → mathcalB')·A_F^(mathcalB)·M_(mathcalB'→ mathcalB) = [1 1 -1 ; 0 -1 1 ; 0 0 -1] [2 1 2 ; 1 -3 1 ; 1 2 1] [1 1 0 ; 0 -1 -1 ; 0 0 -1] = [ 2 6 2 ; 0 -5 -5 ;-1 1 3 ]

Abbiamo terminato!
Ringraziano: Pi Greco, Watti, Bob11, CarFaby, TeQuila., alessandro@diviacco.eu
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