Sistema di generatori della somma di due sottospazi vettoriali

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Sistema di generatori della somma di due sottospazi vettoriali #1495

avt
xavier310
Sfera
Ciao! Rieccomi sul forum, per chiedervi aiuto e chiarimenti su un lemma che riguarda il sistema di generatori della somma di due sottospazi vettoriali:

siano U,W sottospazi vettoriali dello spazio vettoriale V. Se B è un sistema di generatori di U e C è un sistema di generatori di W, allora B unito C è un sistema di generatori di U + W.

Potete farmi un esempio pratico, cioè prendendo in considerazione due sistemi di generatori e dimostrando che la loro unione sia un sistema di generatori di U + W.( In paricolare non ho ben presente il concetto di unione di due insiemi di generatori)
 
 

Sistema di generatori della somma di due sottospazi vettoriali #1496

avt
frank094
Maestro
Xavier credo che questo lemma lo si comprenda meglio spiegandolo con minore rigorosità del necessario.
Se io ottengo tutti i vettori di U dalle combinazioni degli elementi \beta e tutti i vettori di V dalle combinazioni degli elementi \gamma allora è chiaro che se prendo un sistema di generatori che ha in comune sia gli elementi che generano U sia quelli che generano V allora posso senza alcun problema generare U + V ( dato che contiene combinazioni di elementi di U e di V ).

Proviamo con un esempio pratico. Consideriamo due sottospazi vettoriali Ue V di \mathbb{R}^{3} le cui basi sono:

\beta[U] = \left(\left|\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 3\end{matrix}\right|\right)

\beta[W] = \left(\left|\begin{matrix}5 \\ 4 \\ 2\end{matrix}\right|\right)

Chiaramente una base è anche un sistema di generatori. Ora sappiamo che l'insieme somma è definito come:

U + W = \{u + w \mbox{ } | \mbox{ } u \in U, w \in W\}

Ma ogni elemento di u \in U si ottiene dalla combinazione lineare tra il vettore (1, 0, 3) e un reale; sappiamo anche che ogni elemento di w \in W si ottiene dalla combinazione lineare tra il vettore (5, 4, 2) e un reale.
Ogni elemento di U + W vien fuori dalla combinazione lineare di due vettori .. di conseguenza la base è l'unione ( ossia i vettori in comune alle altre due basi ):

\gamma = \left(\left|\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 3\end{matrix}\right|, \mbox{ } \left|\begin{matrix}5 \\ 4 \\ 2\end{matrix}\right|\right)

Ovviamente essendo \gamma una base dell'insieme somma allora è anche un sistema di generatori ( se poi vogliamo aggiungerci qualche vettore appartenente ad uno dei due sottospazi vedremo che i tre diventeranno linearmente dipendenti ).

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Di nuovo aspetta conferma da chi ne sa di più ma questo mi sembra un esempio valido!
(P.S. : Per caso studi sull'Abate? )
Ringraziano: Omega, xavier310

Sistema di generatori della somma di due sottospazi vettoriali #1500

avt
xavier310
Sfera
Si studio sull'Abate emt come hai fatto a indovinare?

Sistema di generatori della somma di due sottospazi vettoriali #1502

avt
frank094
Maestro
Ricordavo preciso preciso il lemma che hai scritto: uso anche io l'Abate emt
Ringraziano: xavier310

Sistema di generatori della somma di due sottospazi vettoriali #1522

avt
Omega
Amministratore
L'esempio del Frank calza a pennello ed è corretto, perché nel caso particolare considerato lavora con due basi che naturalmente sono sistemi di generatori dei relativi sottospazi. Nella fattispecie poi l'unione dei due sistemi di generatori, che sono singolarmente basi dei relativi sottospazi, è anche una base, ma questa non è la situazione più generale.

Attenzione che il lemma fa riferimento a sistemi di generatori e non a basi: è importante non dimenticarsi che è richiesta anche l'indipendenza lineare per far sì che un sistema di generatori sia una base.

Perché dico ciò? Prendiamo la retta

X=a(1,0)^T

con a\in\mathbb{R} parametro reale e l'intero piano

P=R^{2}

che come sistema di generatori ammette

\{(1,1)^T,(0,1)^T\}.

Tali vettori sono linearmente indipendenti, e costituiscono una base di \mathbb{R}^2. Il lemma ci dice che l'unione dei due sistemi di generatori è un sistema di generatori per lo spazio somma X+P ma non che è una base, infatti

\{(1,0)^T,(1,1)^T,(0,1)^T\}

è un sistema di generatori per X+P=\mathbb{R}^2, ma non è una base di \mathbb{R}^2.

Un controesempio ancora più barbino? basta prendere due sistemi di generatori distinti di uno stesso sottospazio, ad esempio la retta X suddetta, che ammette come sistemi di generatori

\{(1,0)^T\}

e

\{(2,0)^T\}

e la somma dei sottospazi, che è ancora la retta X, ammette come sitema di generatori \{(1,0)^T,(2,0)^T\} che naturalmente non è una base dello stesso.
Ringraziano: thejunker, frank094
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