Sistema di generatori della somma di due sottospazi vettoriali
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#1495
![]() xavier310 Sfera | Ciao! Rieccomi sul forum, per chiedervi aiuto e chiarimenti su un lemma che riguarda il sistema di generatori della somma di due sottospazi vettoriali: siano U,W sottospazi vettoriali dello spazio vettoriale V. Se B è un sistema di generatori di U e C è un sistema di generatori di W, allora B unito C è un sistema di generatori di U + W. Potete farmi un esempio pratico, cioè prendendo in considerazione due sistemi di generatori e dimostrando che la loro unione sia un sistema di generatori di U + W.( In paricolare non ho ben presente il concetto di unione di due insiemi di generatori) |
#1496
![]() frank094 Sfera | Xavier credo che questo lemma lo si comprenda meglio spiegandolo con minore rigorosità del necessario. Se io ottengo tutti i vettori di Proviamo con un esempio pratico. Consideriamo due sottospazi vettoriali ![]() ![]() Chiaramente una base è anche un sistema di generatori. Ora sappiamo che l'insieme somma è definito come: ![]() Ma ogni elemento di Ogni elemento di ![]() Ovviamente essendo ------------------- Di nuovo aspetta conferma da chi ne sa di più ma questo mi sembra un esempio valido! (P.S. : Per caso studi sull'Abate? ) |
Ringraziano: Omega, xavier310 |
#1500
![]() xavier310 Sfera | Si studio sull'Abate ![]() |
#1502
![]() frank094 Sfera | Ricordavo preciso preciso il lemma che hai scritto: uso anche io l'Abate ![]() |
Ringraziano: xavier310 |
#1522
![]() Omega Amministratore | L'esempio del Frank calza a pennello ed è corretto, perché nel caso particolare considerato lavora con due basi che naturalmente sono sistemi di generatori dei relativi sottospazi. Nella fattispecie poi l'unione dei due sistemi di generatori, che sono singolarmente basi dei relativi sottospazi, è anche una base, ma questa non è la situazione più generale. Attenzione che il lemma fa riferimento a sistemi di generatori e non a basi: è importante non dimenticarsi che è richiesta anche l'indipendenza lineare per far sì che un sistema di generatori sia una base. Perché dico ciò? Prendiamo la retta ![]() con che come sistema di generatori ammette ![]() Tali vettori sono linearmente indipendenti, e costituiscono una base di ![]() è un sistema di generatori per Un controesempio ancora più barbino? basta prendere due sistemi di generatori distinti di uno stesso sottospazio, ad esempio la retta X suddetta, che ammette come sistemi di generatori ![]() e ![]() e la somma dei sottospazi, che è ancora la retta X, ammette come sitema di generatori ![]() |
Ringraziano: thejunker, frank094 |
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