Sistema di generatori della somma di due sottospazi vettoriali

Ciao! Rieccomi sul forum, per chiedervi aiuto e chiarimenti su un lemma che riguarda il sistema di generatori della somma di due sottospazi vettoriali:

siano U,W sottospazi vettoriali dello spazio vettoriale V. Se B è un sistema di generatori di U e C è un sistema di generatori di W, allora B unito C è un sistema di generatori di U + W.

Potete farmi un esempio pratico, cioè prendendo in considerazione due sistemi di generatori e dimostrando che la loro unione sia un sistema di generatori di U + W.( In paricolare non ho ben presente il concetto di unione di due insiemi di generatori)

Xavier credo che questo lemma lo si comprenda meglio spiegandolo con minore rigorosità del necessario.
Se io ottengo tutti i vettori di dalle combinazioni degli elementi e tutti i vettori di dalle combinazioni degli elementi allora è chiaro che se prendo un sistema di generatori che ha in comune sia gli elementi che generano sia quelli che generano allora posso senza alcun problema generare ( dato che contiene combinazioni di elementi di e di ).

Proviamo con un esempio pratico. Consideriamo due sottospazi vettoriali e di le cui basi sono:



Chiaramente una base è anche un sistema di generatori. Ora sappiamo che l'insieme somma è definito come:


Ma ogni elemento di si ottiene dalla combinazione lineare tra il vettore e un reale; sappiamo anche che ogni elemento di si ottiene dalla combinazione lineare tra il vettore e un reale.
Ogni elemento di vien fuori dalla combinazione lineare di due vettori .. di conseguenza la base è l'unione ( ossia i vettori in comune alle altre due basi ):


Ovviamente essendo una base dell'insieme somma allora è anche un sistema di generatori ( se poi vogliamo aggiungerci qualche vettore appartenente ad uno dei due sottospazi vedremo che i tre diventeranno linearmente dipendenti ).

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Di nuovo aspetta conferma da chi ne sa di più ma questo mi sembra un esempio valido!
(P.S. : Per caso studi sull'Abate? )

Si studio sull'Abate come hai fatto a indovinare?

Ricordavo preciso preciso il lemma che hai scritto: uso anche io l'Abate

L'esempio del Frank calza a pennello ed è corretto, perché nel caso particolare considerato lavora con due basi che naturalmente sono sistemi di generatori dei relativi sottospazi. Nella fattispecie poi l'unione dei due sistemi di generatori, che sono singolarmente basi dei relativi sottospazi, è anche una base, ma questa non è la situazione più generale.

Attenzione che il lemma fa riferimento a sistemi di generatori e non a basi: è importante non dimenticarsi che è richiesta anche l'indipendenza lineare per far sì che un sistema di generatori sia una base.

Perché dico ciò? Prendiamo la retta



con parametro reale e l'intero piano



che come sistema di generatori ammette

.

Tali vettori sono linearmente indipendenti, e costituiscono una base di . Il lemma ci dice che l'unione dei due sistemi di generatori è un sistema di generatori per lo spazio somma ma non che è una base, infatti



è un sistema di generatori per , ma non è una base di .

Un controesempio ancora più barbino? basta prendere due sistemi di generatori distinti di uno stesso sottospazio, ad esempio la retta X suddetta, che ammette come sistemi di generatori



e



e la somma dei sottospazi, che è ancora la retta X, ammette come sitema di generatori che naturalmente non è una base dello stesso.