Insiemi di generatori e spazi vettoriali e sottospazi vettoriali, chiarimenti

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Insiemi di generatori e spazi vettoriali e sottospazi vettoriali, chiarimenti #1485

avt
xavier310
Sfera
Ciao ragazzi!

Potreste aiutarmi a chiarire un po' meglio questi concetti sui sistemi di generatori e sugli spazi vettoriali?

Se B è un sottoinsieme finito di uno spazio vettoriale V, spanB come fa a contenere un sistema di generatori di V se B è un sottoinsieme?

Altra piccola domanda: in uno spazio vettoriale a 3 dimensioni possono esiste 4 vettori linearmente indipendenti? emt
 
 

Insiemi di generatori e spazi vettoriali e sottospazi vettoriali, chiarimenti #1490

avt
frank094
Maestro
xavier310 ha scritto:
Ciao ragazzi! Potreste aiutarmi a chiarire un po omeglio questi concetti?

Se B è un sottoinsieme finito di uno spazio vettoriale V, spanB come fa a contenere un sistema di generatori di V se B è un sottoinsieme?

Questo mi ricorda un importantissimo lemma il quale dice
"Sia \beta = \{v_1, ..., v_k\} un sottoinsieme di uno spazio vettoriale V. Supponiamo che Span(\beta) contenga un sistema di generatori di V. Allora V = Span(\beta), cioè anche \{v_1, ..., v_k\} è un sistema di generatori di V".

Non ti è chiaro perché dice che lo Span del sottoinsieme \beta possa contenere un sistema di generatori?
Beh, semplicemente perché il sottoinsieme \beta contiene alcuni vettori dello spazio vettoriale V, mentre lo Span tutte le combinazioni lineari che con questi si possono ottenere: cosa c'è di strano se tra le tante combinazioni compaiono anche alcuni vettori tali da formare un sistema di generatori?

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xavier310 ha scritto:
Cioè volevo dire: Altra piccola domanda: in uno spazio vettoriale a 3 dimensioni possono esiste 4 vettori linearmente indipendenti?

Come già accennato nell'altra risposta no. Questo perché la base altro non è che un sottoinsieme massimale in V di vettori linearmente indipendenti.
( Si può giustificare anche in tanti altri modi ma credo che uno sia sufficiente in più massimale rende più l'idea emt ).
Ringraziano: Omega, xavier310

Insiemi di generatori e spazi vettoriali e sottospazi vettoriali, chiarimenti #1491

avt
xavier310
Sfera
Si giusto emt grazie frank094, tutto chiaro emt
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Os