Insiemi di generatori e spazi vettoriali e sottospazi vettoriali, chiarimenti

Ciao ragazzi!

Potreste aiutarmi a chiarire un po' meglio questi concetti sui sistemi di generatori e sugli spazi vettoriali?

Se B è un sottoinsieme finito di uno spazio vettoriale V, spanB come fa a contenere un sistema di generatori di V se B è un sottoinsieme?

Altra piccola domanda: in uno spazio vettoriale a 3 dimensioni possono esiste 4 vettori linearmente indipendenti?

xavier310 ha scritto:

Questo mi ricorda un importantissimo lemma il quale dice
"Sia un sottoinsieme di uno spazio vettoriale V. Supponiamo che contenga un sistema di generatori di . Allora , cioè anche è un sistema di generatori di ".

Non ti è chiaro perché dice che lo Span del sottoinsieme possa contenere un sistema di generatori?
Beh, semplicemente perché il sottoinsieme contiene alcuni vettori dello spazio vettoriale , mentre lo Span tutte le combinazioni lineari che con questi si possono ottenere: cosa c'è di strano se tra le tante combinazioni compaiono anche alcuni vettori tali da formare un sistema di generatori?

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xavier310 ha scritto:

Come già accennato nell'altra risposta no. Questo perché la base altro non è che un sottoinsieme massimale in di vettori linearmente indipendenti.
( Si può giustificare anche in tanti altri modi ma credo che uno sia sufficiente in più massimale rende più l'idea ).

Si giusto grazie frank094, tutto chiaro