Domanda sull'esistenza delle basi

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Domanda sull'esistenza delle basi #1482

avt
xavier310
Sfera
Buongiorno. Volevo porvi queste due domande riguardante le basi di uno spazio vettoriale

1) Ogni spazio vettoriale ha una base? In caso la risposta fosse no, potete farmi qualche esempio?
2)Perchè  \mathbb{R}[t] non ha un sistema finito di generatori? E quindi non ha neppure una base?
 
 

Re: Domanda sull'esistenza delle basi #1484

avt
frank094
Maestro
Ciao Xavier, la prima domanda da te fatta è, a mio avviso, estremamente interessante.
La risposta esatta è: ogni spazio vettoriale ammette una base ma la cosa non è così immediata e richiede un discorso più ampio.
In generale non tutti gli spazi vettoriali ammettono una base finita ( o addirittura neanche un sistema di generatori finito ) e di conseguenza escono fuori dalla normale definizione di base.
Ci si potrebbe aspettare a questo punto che non tutti gli spazi vettoriali ammettono una base e concludere il discorso qui.
Ma non si può. E' infatti possibile definire la base come composta da infiniti elementi e poi dimostrare, con il Lemma di Zorn, che ogni spazio vettoriale ammette una base in tal senso.
Possiamo concludere dicendo che non tutti gli spazi vettoriali hanno base finita, ma tutti ne ammettono almeno una di infiniti elementi.


Dimostrare che \mathbb{R}[t] non ha un sistema finito di generatori non è troppo difficile.
Supponiamo per assurdo che esista un sistema di generatori v_1, ..., v_k tali che

Span(v_1, ..., v_k) = \{\alpha_1 v_1 + ... + \alpha_k v_k \mbox{ } | \mbox{ } \alpha \in \mathbb{R}\} = \mathbb{R}[t]

Però il sistema di generatori si ferma ad un polinomio di grado k mentre \mathbb{R}[t] contiene polinomi di qualsiasi grado ( quindi \exists p(t): deg[p(t)] = k + 1 ) dobbiamo solo dimostrare che con un la combinazione lineare il grado del polinomio non aumenta per dire che esiste almeno un elemento che non può essere raggiunto in contraddizione con l'ipotesi e la dimostrazione è finita.

Chiaramente che il grado non aumenta dalla combinazione lineare di due polinomi dello stesso grado è intuitivo e puoi benissimo dimostrarlo da solo ( tanto c'è solo da notare che il grado è la massima potenza e le sue proprietà ci dicono che aumenta al più con il prodotto ).

Quindi abbiamo appena dimostrato per assurdo che non esiste un sistema di generatori finito per \mathbb{R}[t].
Come ti dicevo sopra se non esiste un sistema di generatori finito allora non esiste neanche una base finita ma si può benissimo far entrare in gioco un sistema di generatori infinito e una base infinita.
Ringraziano: Omega, xavier310

Re: Domanda sull'esistenza delle basi #1487

avt
xavier310
Sfera
Forte emt quindi per base finita si intende per esempio il fatto che il numero di vettori linearmente indipendenti non può superare la dimensione dello spazio vettoriale?

E si può dire che l'insieme dei polinomi ha dimensione infinita? Quindi sistema di generatori infiniti e quindi base infinita?

Re: Domanda sull'esistenza delle basi #1488

avt
frank094
Maestro
Per base finita si intende sostanzialmente che il numero degli elementi non è infinito.

"[...] il numero di vettori linearmente indipendenti non può superare la dimensione dello spazio vettoriale?"
Ovviamente il numero di vettori linearmente indipende è sempre minore o uguale alla dimensione.

"E si può dire che l'insieme dei polinomi ha dimensione infinita? Quindi sistema di generatori infiniti e quindi base infinita?"
Sì, generalmente quando uno spazio vettoriale non ammette un sistema di generatori finito si dice che la dimensione è infinita.
Si può anche dire che ha un sistema di generatori infinito e una base infinita ( perché è così ) ma in generale si tende a dire semplicemente che non ammette sistema e base finiti.
Ringraziano: Omega, xavier310

Re: Domanda sull'esistenza delle basi #1489

avt
xavier310
Sfera
E oltre all'insieme dei polinomi quali possono essere altri insiemi che hanno dimensione infinita? O meglio che non ammette sistema e base finiti?

Re: Domanda sull'esistenza delle basi #1492

avt
frank094
Maestro
Per trovarli in realtà basta pensare se un dato insieme ha o no un sistema finito di generatori.
Non vorrei farti sbagliare quindi ti lascio due esempi ( che credo sia corretto ):

- L'insieme delle funzioni continue \mathbb{R} \to \mathbb{R}

- L'insieme delle successioni di elementi di \mathbb{R}

Come ti dicevo prendile con le pinze e aspetta conferma da qualcuno di più esperto di me.
Ringraziano: Omega, xavier310

Re: Domanda sull'esistenza delle basi #1538

avt
Omega
Amministratore
Entrambi corretti! emt
Ringraziano: frank094
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Os